Deux variables aléatoires peuvent-elles avoir la même distribution, mais être presque sûrement différentes?

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Est-il possible que deux variables aléatoires aient la même distribution et pourtant elles sont presque sûrement différentes?

distributions probability HornetsFan
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Soit et définissons . Il est facile de prouver que . $X\sim N(0,1)$ $Y=-X$ $Y\sim N(0,1)$

Mais

P {ω : X (ω) = Y (ω)} = P {ω : X (ω) = 0, Y (ω) = 0} \leq P {ω : X (ω) = 0} = 0 .

$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$

Par conséquent, et sont différents avec une probabilité un. $X$ $Y$

Zen
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18

Cette même astuce fonctionne beaucoup plus généralement et même dans les cas qui peuvent «sembler» plus simples à quelqu'un qui rencontre le sujet pour la première fois. Par exemple, considérons et où est une variable aléatoire de Bernoulli avec une probabilité de succès de .

X

$X$

1 - X

$1-X$

X

$X$

1 / 2

$1/2$

cardinal

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Toute paire de variables aléatoires indépendantes et ayant la même distribution continue fournit un contre-exemple. $X$ $Y$

En fait, deux variables aléatoires ayant la même distribution ne sont même pas nécessairement définies sur le même espace de probabilité, la question n'a donc aucun sens en général.

Stéphane Laurent
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3

(+1) Votre deuxième point, en particulier, est important et, une fois compris, aide à élucider les différences entre les deux concepts impliqués.

cardinal

-1

$X(x)=x$ $Y(x)=1-x$ $x \in [0,1]$ $F(x)=x$ $f(x)=1$ $X+Y$ $x=1$

RRBaldino
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Bienvenue sur notre site. Pourriez-vous clarifier le sens dans lequel votre message répond à la question dans ce fil et montrer en quoi elle diffère de la réponse donnée par Zen (et du commentaire de @Cardinal à cette réponse )?

whuber

Deux variables aléatoires peuvent-elles avoir la même distribution, mais être presque sûrement différentes?

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