Prouve-le

Réponses:

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Écrire p au lieu de n pour le souligner, il peut s'agir de n'importe quel nombre réel positif, plutôt que d'un simple entier comme le suggère "n".

Passons en revue quelques transformations préliminaires standard pour simplifier les calculs ultérieurs. Cela ne fait aucune différence dans le résultat à redimensionnerX. Le résultat est trivial siX est presque partout nul, alors supposez E(X) est différent de zéro, d'où E(Xp) est également non nul pour tous p. Maintenant, corrigezp et diviser X par E(Xp)1/p pour que

(1)E(Xp)=1,
sans perte de généralité.

Voici comment le raisonnement peut se dérouler lorsque vous essayez de le comprendre la première fois et que vous essayez de ne pas travailler trop dur. Je vous laisserai des justifications détaillées de chaque étape.

L'expression E(Xp)1/pn'est pas décroissant si et seulement si son logarithme est non décroissant. Ce log est différentiable et donc non décroissant si et seulement si sa dérivée n'est pas négative. Exploitant(1) nous pouvons calculer (en différenciant dans l'attente) cette dérivée comme

ddplog(E(Xp)1/p)=1p2logE(Xp)+E(XplogX)E(Xp)=1pE(Xplog(Xp)).

L'écriture Y=Xp, le côté droit n'est pas négatif si et seulement si

E(Ylog(Y))0.
Mais c'est une conséquence immédiate de l'inégalité de Jensen appliquée à la fonctionf(y)=ylog(y) (continue sur les réels non négatifs et différenciable sur les réels positifs), car différencier deux fois montre
f(y)=1y>0
pour y>0, d'où f est une fonction convexe sur les réels non négatifs, donnant

E(YlogY)=E(f(Y))f(E(Y))=f(1)=0,

QED .


Éditer

Edward Nelson fournit une démonstration merveilleusement succincte. En termes de notation (standard), définissez||x||p=E(|x|p)1/p pour 1<p< (et ||x||=sup|x|). En observant que la fonctionf(x)=|x|p est convexe, il applique l'inégalité de Jensen pour conclure

|E(x)|pE(|x|p).

Voici le reste de la démonstration dans ses propres mots:

Appliqué à |x| cela donne

||x||1||x||p,
et appliqué à |x|r, où 1r<, cela donne
||x||r||x||rp,
pour que ||x||p est une fonction croissante de p pour 1p.

Référence

Edward Nelson, Théorie des probabilités radicalement élémentaire. Princeton University Press (1987): p. 5.

whuber
la source
Pourriez-vous m'expliquer comment avez-vous calculé la dérivée de log(E(Xp)1p)
Dhamnekar Winod
J'ai utilisé la règle du produit, car
log(E(Xp)1/p)=1p logE(Xp).
J'ai différencié le deuxième facteur du produit en le différenciant sous le signe intégral.
whuber
Comment êtes-vous arrivé à E(Xp)=1Vous avez écrit que vous divisez X par E(Xp)1p
Dhamnekar Winod
Pourquoi n'avez-vous pas multiplié le deuxième terme dans la dérivée de log(E(Xp)(1p) par 1p
Dhamnekar Winod
Je l'ai fait: cela a annulé un autre facteur de p. Mais est-ce important pour le résultat? Après tout, il nous suffit de connaître le signe de la dérivée.
whuber