Pour une variable aléatoire non négative , comment prouver que dans?
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Dhamnekar Winod
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Réponses:
Écrirep au lieu de n pour le souligner, il peut s'agir de n'importe quel nombre réel positif, plutôt que d'un simple entier comme le suggère "n ".
Passons en revue quelques transformations préliminaires standard pour simplifier les calculs ultérieurs. Cela ne fait aucune différence dans le résultat à redimensionnerX . Le résultat est trivial siX est presque partout nul, alors supposez E(X) est différent de zéro, d'où E(Xp) est également non nul pour tous p . Maintenant, corrigezp et diviser X par E(Xp)1/p pour que
Voici comment le raisonnement peut se dérouler lorsque vous essayez de le comprendre la première fois et que vous essayez de ne pas travailler trop dur. Je vous laisserai des justifications détaillées de chaque étape.
L'expressionE(Xp)1/p n'est pas décroissant si et seulement si son logarithme est non décroissant. Ce log est différentiable et donc non décroissant si et seulement si sa dérivée n'est pas négative. Exploitant(1) nous pouvons calculer (en différenciant dans l'attente) cette dérivée comme
L'écritureY=Xp , le côté droit n'est pas négatif si et seulement si
QED .
Éditer
Edward Nelson fournit une démonstration merveilleusement succincte. En termes de notation (standard), définissez||x||p=E(|x|p)1/p pour 1<p<∞ (et ||x||∞=sup|x| ). En observant que la fonctionf(x)=|x|p est convexe, il applique l'inégalité de Jensen pour conclure
Voici le reste de la démonstration dans ses propres mots:
Référence
Edward Nelson, Théorie des probabilités radicalement élémentaire. Princeton University Press (1987): p. 5.
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