Pourquoi les changements de log naturels sont-ils des pourcentages? Qu'en est-il des journaux qui rend cela si?

Quelqu'un peut-il expliquer comment les propriétés des journaux permettent de réaliser des régressions linéaires dans lesquelles les coefficients sont interprétés comme des pourcentages de variation?

Pour et proches l'un de l'autre, le pourcentage de changement rapproche de la différence de .$x_2$$x_1$$\frac{x_2-x_1}{x_1}$$\log x_2 - \log x_1$

Pourquoi le pourcentage de changement se rapproche-t-il de la différence de log?

Une idée du calcul est que vous pouvez approximer une fonction de lissage avec une ligne. L'approximation linéaire est simplement les deux premiers termes d'une série de Taylor . Le premier ordre d’expansion de Taylor de autour de est donné par:$\log(x)$$x=1$

$$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$$ Le côté droit se simplifie à donc: $0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$ $$\log(x) \approx x-1$$

Donc, pour au voisinage de 1, nous pouvons approximer avec la droite Ci-dessous se trouve un graphique de et .$x$$\log(x)$$y = x - 1$$y = \log(x)$$y = x - 1$

Exemple: .$\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

Considérons maintenant deux variables et telles que . Ensuite, la différence de journal correspond approximativement au pourcentage de changement :$x_2$$x_1$$\frac{x_2}{x_1} \approx 1$$\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

$$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$$

Le pourcentage de changement est une approximation linéaire de la différence de log!

Pourquoi enregistrer les différences?

Souvent, lorsque vous songez à la composition en pourcentage de changements, le concept plus propre est de penser en termes de différences de log. Lorsque vous multipliez de façon répétée les termes, il est souvent plus pratique de travailler dans les journaux et de les ajouter.

Disons que notre richesse au temps est donnée par: Il serait alors plus pratique d'écrire: où .$T$

$$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$$ $$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$$ $r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

Où sont les changements de pourcentage et la différence de journal PAS la même chose?

Pour les grands changements en pourcentage, la différence de log n'est pas la même chose que le pourcentage de changement car l'approximation de la courbe avec la ligne devient de pire en pire à mesure que l'on s'éloigne de . Par exemple:$y = \log(x)$$y = x - 1$$x=1$

$$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$$

Quelle est la différence de journal dans ce cas?

Une façon de penser à cela est qu'une différence dans les journaux de .47 équivaut à une accumulation de 47 différences de .01 log différentes, ce qui correspond à environ 47 1% des modifications combinées.

$$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$$

Exponenciez ensuite les deux côtés pour obtenir:

$$1.6 \approx 1.01 ^{47}$$

Une différence de log de 0,47 équivaut approximativement à 47 augmentations différentes de 1%, ou mieux encore, de 470 augmentations différentes de 1%, etc.

Plusieurs des réponses ici rendent cette idée plus explicite.

Voici une version pour les nuls ...

Nous avons le modèle - une simple ligne droite à travers le nuage de données - et nous savons qu'une fois les coefficients estimés, une augmentation de de la valeur antérieure de sera entraîner une augmentation de dans la valeur de , de , sous la . Mais les unités peuvent en réalité être sans signification en valeurs absolues.$Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$$1\text{-unit}$$X=x_1$$\hat \beta_1$$Y$$Y=y_1$$\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

Nous pouvons donc, au lieu de cela, changer le modèle en (nouveaux coefficients). Maintenant, pour la même augmentation d'unité dans , nous avons un changement$\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$$\hat\delta_1$

$$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$$

Pour voir les implications pour le changement de pourcentage, nous pouvons exponentiate :$(*)$

$$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ est le changement relatif, et de , le pourcentage de changement.$(**)$$\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

La clé pour répondre à la question est de voir que pour les petites valeurs de , ce qui revient au même usage des deux premiers termes du développement de Taylor Matthew a utilisé, mais cette fois de ( série Maclaurin ) évaluée à zéro car nous travaillons avec des exposants, par opposition aux logarithmes:$\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$$\hat\delta_1$$e^x$

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

ou avec comme variable :$\delta_1$$x$

$$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$$

so autour de zéro (nous avons évalué le développement polynomial à zéro lorsque nous avons réalisé la série de Taylor). Visuellement,$\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

Disons que vous avez un modèle Prenez un dérivé d'un journal:

$$\ln y = A+B x$$ $$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$$

Maintenant, vous pouvez voir que la pente est maintenant une pente du changement relatif de : $b$$y$

$$\frac{dy}{y}=B dx$$

Si vous n'avez pas eu la transformation du journal, vous obtiendrez une pente de changement absolu de : $y$

$$dy=B dx$$

Je n'ai pas remplacé par pour souligner que cela fonctionne pour de petits changements.$dx,dy$$\Delta x,\Delta y$

Les réponses actuelles contiennent de nombreuses explications intéressantes, mais en voici une autre en termes d’analyse financière de la comptabilisation des intérêts sur un investissement initial. Supposons que vous ayez un montant initial d'une unité qui génère des intérêts au taux (nominal) par an , les intérêts étant "composés" sur périodes de l'année. Au bout d'un an, la valeur de cet investissement initial d'une unité est:$r$ $n$

$$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$$

Plus cet intérêt est souvent "composé", plus vous obtenez d'argent sur votre investissement initial (car cela signifie que vous obtenez des intérêts sur vos intérêts). En prenant la limite comme nous obtenons un "intérêt toujours croissant", ce qui donne:$n \rightarrow \infty$

$$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$$

Prendre les logarithmes des deux côtés donne , ce qui signifie que le logarithme du rapport entre l’investissement final et l’investissement initial est le taux d’intérêt à composition constante. À partir de ce résultat, nous voyons que les différences logarithmiques dans les résultats de séries chronologiques peuvent être interprétées comme des taux de changement en continu . (Cette interprétation est également justifiée par la réponse de aksakal , mais le travail actuel vous donne une autre façon de la regarder.)$r = \ln I(\infty)$

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