Calculer manuellement les prévisions d'effets aléatoires pour un modèle mixte linéaire

J'essaie de calculer les prédictions d'effet aléatoire à partir d'un modèle mixte linéaire à la main, et en utilisant la notation fournie par Wood dans les modèles additifs généralisés: une introduction avec R (pg 294 / pg 307 du pdf), je suis confus sur ce que chaque paramètre représente.

Voici un résumé de Wood.

Définir un modèle mixte linéaire

$$Y = X\beta + Zb + \epsilon$$

où b N (0, ψ ) et ϵ ∼ N (0, σ 2 )$\sim$$\psi$$\epsilon \sim$$\sigma^{2}$

Si b et y sont des variables aléatoires avec une distribution normale conjointe

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} b\\ y \end{bmatrix} &\sim N \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ X\beta \end{bmatrix}\!\!,& \begin{bmatrix} \psi & \Sigma_{by} \\ \Sigma_{yb}& \Sigma_{\theta}\sigma^{2} \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ \end{align*}$$

Les prédictions RE sont calculées par

$$\begin{align*} E[b \mid y] &= \Sigma_{by} \Sigma_{yy}^{-1} (y - x\beta)\\ &= \Sigma_{by}\Sigma_{\theta}^{-1}(y - x \beta) / \sigma^{2}\\ &= \psi z^{T}\Sigma_{\theta}^{-1} (y - x \beta) / \sigma^{2} \end{align*}$$

$\Sigma_{\theta} = Z\psi Z^{T} /\sigma^{2} + I_{n}$

En utilisant un exemple de modèle d'interception aléatoire du lme4package R, j'obtiens une sortie

library(lme4)
m = lmer(angle ~ temp + (1 | replicate), data=cake)
summary(m)

% Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
% Formula: angle ~ temp + (1 | replicate)
%    Data: cake
% 
% REML criterion at convergence: 1671.7
% 
% Scaled residuals: 
%      Min       1Q   Median       3Q      Max 
% -2.83605 -0.56741 -0.02306  0.54519  2.95841 
% 
% Random effects:
%  Groups    Name        Variance Std.Dev.
%  replicate (Intercept) 39.19    6.260   
%  Residual              23.51    4.849   
% Number of obs: 270, groups:  replicate, 15
% 
% Fixed effects:
%             Estimate Std. Error t value
% (Intercept)  0.51587    3.82650   0.135
% temp         0.15803    0.01728   9.146
% 
% Correlation of Fixed Effects:
%      (Intr)
% temp -0.903

$\psi$$(y-X\beta)$cake$angle - predict(m, re.form=NA)sigma

th = 23.51
zt = getME(m, "Zt") 
res = cake$angle - predict(m, re.form=NA)
sig = sum(res^2) / (length(res)-1)

La multiplication de ces ensembles donne

th * zt %*% res / sig
         [,1]
1  103.524878
2   94.532914
3   33.934892
4    8.131864
---

ce qui n'est pas correct par rapport à

> ranef(m)
$replicate
   (Intercept)
1   14.2365633
2   13.0000038
3    4.6666680
4    1.1182799
---

Pourquoi?

Deux problèmes (j'avoue qu'il m'a fallu environ 40 minutes pour repérer le second):

1. $\sigma^2$23.51

   sig <- 23.51

   $\psi$39.19

   psi <- 39.19

2. Les résidus ne sont pas obtenus avec cake$angle - predict(m, re.form=NA)mais avec residuals(m).

Mettre ensemble:

> psi/sig * zt %*% residuals(m)
15 x 1 Matrix of class "dgeMatrix"
         [,1]
1  14.2388572
2  13.0020985
3   4.6674200
4   1.1184601
5   0.2581062
6  -3.2908537
7  -4.6351567
8  -4.5813846
9  -4.6351567
10 -3.1833095
11 -2.1616392
12 -1.1399689
13 -0.2258429
14 -4.0974355
15 -5.3341942

qui est similaire à ranef(m).

Je ne comprends vraiment pas ce qui est predictcalculé.

---

$\hat\epsilon$$PY$$P = V^{-1} - V^{-1} X \left(X' V^{-1} X\right)^{-1} X' V^{-1}$

$$\hat\epsilon = \sigma^2 PY$$ $$\hat b = \psi Z^t PY.$$

$\hat b = \psi / \sigma^2 Z^t \hat\epsilon$