Dérivation du changement de variables d'une fonction de densité de probabilité?

Dans la reconnaissance des formes de livre et l'apprentissage automatique (formule 1.27), il donne

$$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$$ où , est le pdf qui correspond à par rapport au changement de la variable.$x=g(y)$p y ( y $p_x(x)$$p_y(y)$

Les livres disent que c'est parce que les observations tombant dans la gamme seront, pour les petites valeurs de , transformées dans la gamme .δ $(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y)$

Comment est-ce dérivé formellement?

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Mise à jour de Dilip Sarwate

Le résultat n'est valable que si est une fonction d'augmentation ou de diminution strictement monotone.$g$

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Quelques modifications mineures à la réponse de LV Rao Par conséquent, si augmente de façon monotone cas de diminution monotone \ donc f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ droite | g F Y ( y ) = F

$$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$$ $g$ $$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$$ FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-1(y))⋅ $$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$$ $$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$

Supposons que est une variable aléatoire continue avec f (x). Si nous définissons$X$pdf$Y=g(X)$ , où g () est une fonction monotone, alors le pdfde est obtenu comme suit: en différenciant les CDFs des deux côtés wrt , nous obtenons le pdf de . La fonction g () pourrait être soit monotoniquement croissante, soit monotoniquement décroissante. Si la fonction g () augmente de façon monotone, alors le pdf de est donné par $Y$

$$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$$ $y$$Y$$Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ et d'autre part, si elle diminue de façon monotone, alors le pdf de est donné par Les deux équations ci-dessus peuvent être combinées en une seule équation: $Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$$