Qu'est-ce qu'un échantillon d'une variable aléatoire?

La variable aléatoire est définie comme une fonction mesurable d'une algèbre σ ( Ω 1 , F 1 ) avec la mesure sous-jacente P à une autre algèbre σ ( Ω 2 , F 2 ) .$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Comment parler d'un échantillon de cette variable aléatoire? La traitons-nous comme un élément de Ω 2 ? Ou comme la même fonction mesurable que X ?$X^n$$\Omega_2$$X$

Où puis-je en savoir plus à ce sujet?

Exemple:

Dans l'estimation de Monte Carlo, nous prouvons l'impartialité de l'estimateur en considérant les échantillons comme les fonctions. Si une attente d'une variable aléatoire X est définie comme$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

et en supposant que sont des fonctions et X n = X , nous pouvons procéder comme suit:$X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

Si n'était qu'un élément de Ω 2 , nous n'aurions pas pu écrire le dernier ensemble d'équations.$X^n$$\Omega_2$

$(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

En déclarant

$X^n$$X^n=X$

$X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. $\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. $\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

Votre définition

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

est incorrect: il devrait être

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

$n$$n$$n$tu as. Les échantillons sont considérés comme des variables aléatoires car des processus aléatoires conduisent à les dessiner. Ils sont distribués à l'identique car ils proviennent d'une distribution commune. Pour traiter des échantillons, nous avons des statistiques, tandis que les statistiques utilisent une description mathématique abstraite de ses problèmes en termes de théorie des probabilités, de sorte que la terminologie est mitigée. Les variables aléatoires sont des fonctions attribuant des probabilités aux événements pouvant être rencontrés dans vos échantillons.