Un exemple de variables (grossièrement) indépendantes qui dépendent de valeurs extrêmes?

Je cherche un exemple de 2 variables aléatoires $X$ , $Y$ telles que

| c o r (X, Y) | \approx 0

$\newcommand{\cor}{{\rm cor}}|\cor(X,Y)| \approx 0$

mais quand on considère la partie queue des distributions, elles sont fortement corrélées. (J'essaie d'éviter la «corrélation» / la «corrélation» pour la queue car elle pourrait ne pas être linéaire).

Utilisez probablement ceci:

| c o r (X^{'}, Y^{'}) | ≫ 0

$|\cor(X', Y')| \gg 0$

où est conditionnel à de la population de , et est défini dans le même sens. $X'$ $X > 90\%$ $X$ $Y'$

correlation extreme-value Kmz
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Variables indépendantes dépendantes? Mon cerveau a explosé. Vous ne pouvez pas poser ce genre de question lundi matin

Aksakal presque sûrement binaire

Compte tenu de la réponse votée, ce Q semble répondre.

gung - Rétablir Monica

Pour aider cela à donner un sens aux gens, considérez à quel point vous vous souciez des problèmes d'armes à feu et à quel point vous aimez / détestez la NRA. La corrélation sera probablement proche de zéro. Les personnes qui se soucient le plus des problèmes d'armes à feu peuvent soit aimer, soit détester la NRA. Mais ils seront très dépendants. Les personnes qui se soucient le plus des problèmes liés aux armes à feu ne seront presque jamais au milieu du spectre pro-NRA / anti-NRA. Les gens tout en haut ou en bas du spectre pro-NRA / anti-NRA auront tendance à se soucier davantage des problèmes d'armes à feu que les gens du milieu.

David Schwartz du

Je suis désolé d'avoir posé la question peu claire. Je veux juste visualiser comment cela fonctionne pour certaines distributions indépendantes ayant une sorte de dépendance extrême (pas nécessairement une corrélation).

Kmz

Il existe une multitude de copules avec une faible dépendance globale mais une forte dépendance de la queue; la corrélation globale exacte serait affectée par la distribution des marginaux.

Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:

Voici un exemple où et ont même des marginaux normaux. $X$ $Y$

Laisser:

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

Conditionnel à , soit si , ou sinon, pour une constante . $X$ $Y = X$ $|X| > \phi$ $Y = -X$ $\phi$

Vous pouvez montrer que, indépendamment de , nous avons marginalement: $\phi$

Y \sim N (0, 1)

$Y \sim N(0,1)$

Il y a une valeur de telle que . Si alors $\phi$ $\text{cor}(X,Y) = 0$ $\phi = 1.54$ $\text{cor}(X,Y)\approx 0$ .

Cependant, et ne sont pas indépendants et les valeurs extrêmes des deux sont parfaitement dépendantes. Voir la simulation dans R ci-dessous et le graphique qui suit. $X$ $Y$

Nsim <- 10000
set.seed(123)

x <- rnorm(Nsim)
y <- ifelse(abs(x)>1.54,x,-x)

print(cor(x,y)) # 0.00284 \approx 0

plot(x,y)

extreme.x <- which(abs(x)>qnorm(0.95))
extreme.y <- which(abs(y)>qnorm(0.95))
extreme.both <- intersect(extreme.x,extreme.y)

print(cor(x[extreme.both],y[extreme.both])) # Exactly 1

Chris Haug
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(+1) Si vous voulez que la distribution ne soit pas seulement non corrélée, mais aussi très dépendante, vous pouvez faire une modification de ceci qui remplace le swap de seuil dur par un flou. C'est plus difficile de faire le calcul, mais c'est faisable.

Matthew Graves

Merci Chris Haug! Votre idée m'aide à visualiser ce que je fais.

Kmz