Le mode mean = implique-t-il une distribution symétrique?

Je sais que cette question a été posée avec le cas moyenne = médiane, mais je n'ai rien trouvé en rapport avec le mode moyenne =.

Si le mode est égal à la moyenne, puis-je toujours conclure qu'il s'agit d'une distribution symétrique? Serai-je obligé de connaître également la médiane de cette manière?

Le mode Mean = n'implique pas de symétrie.

Même si le mode moyenne = médiane =, vous n'avez toujours pas nécessairement de symétrie.

Et en prévision du suivi potentiel - même si le mode moyenne = médiane = et que le troisième moment central est nul (donc l'inclinaison du moment est 0), vous n'avez toujours pas nécessairement de symétrie.

... mais il y avait un suivi à celui-là. NickT a demandé dans les commentaires si avoir tous les moments impairs zéro était suffisant pour exiger la symétrie. La réponse à cette question est également non. [Voir la discussion à la fin. ]$^\dagger$

Ces différentes choses sont toutes impliquées par symétrie (en supposant que les moments pertinents sont finis) mais l'implication ne va pas dans l'autre sens - malgré de nombreux textes élémentaires disant clairement le contraire à propos d'un ou de plusieurs d'entre eux.

Les contre-exemples sont assez simples à construire.

Considérez la distribution discrète suivante:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Il a la moyenne, la médiane, le mode et le troisième moment central (et donc l'inclinaison du moment) tous 0 mais il est asymétrique.

Ce type d'exemple peut également être fait avec une distribution purement continue. Par exemple, voici une densité avec les mêmes propriétés:

Il s'agit d'un mélange de densités triangulaires symétriques (chacune avec plage 2) avec des moyennes à -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 et des poids de mélange 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 , 0,08, 0,20 respectivement. Le fait que je viens de le faire maintenant - ne l'ayant jamais vu auparavant - suggère à quel point ces cas sont simples à construire.

[J'ai choisi des composants de mélange triangulaires afin que le mode soit visuellement sans ambiguïté - une distribution plus fluide aurait pu être utilisée.]

Voici un exemple discret supplémentaire pour répondre aux questions de Hong Ooi sur la distance de symétrie que ces conditions vous permettent d'obtenir. Ce n'est en aucun cas un cas limitatif, cela illustre simplement qu'il est simple de faire un exemple d'aspect moins symétrique:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

Le pic à 0 peut être rendu relativement plus élevé ou plus bas sans changer les conditions; de même, le point à droite peut être placé plus loin (avec une réduction de la probabilité) sans modifier considérablement les hauteurs relatives à 1 et -2 (c'est-à-dire que leur probabilité relative restera proche du rapport 2: 1 lorsque vous vous déplacez le plus à droite) élément sur).

Plus de détails sur la réponse à la question de NickT

$\dagger$ Le cas zéro de tous les moments impairs est abordé dans un certain nombre de questions sur le site. Il y a un exemple ici (voir l'intrigue) basé sur les détails ici (voir vers la fin de la réponse). Il s'agit d'une densité asymétrique unimodale continue avec tous les moments impairs 0 et le mode moyen = médian =. La médiane est 0 par la construction du mélange 50-50, le mode est 0 par inspection - tous les membres de la famille sur la demi-ligne réelle à partir de laquelle l'exemple est construit ont une densité monotone décroissante à partir d'une valeur finie à l'origine , et la moyenne est nulle car tous les moments impairs sont 0.

Je n'appellerais pas cette distribution symétrique.

Non.

$X$$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

Pour répéter une réponse que j'ai donnée ailleurs , mais qui tient ici aussi:

qui a non seulement la moyenne, la médiane et le mode tous égaux, mais a également une asymétrie nulle. De nombreuses autres versions sont possibles.