Jeffreys prior pour plusieurs paramètres

Dans certains cas, l'a priori de Jeffreys pour un modèle multidimensionnel complet est généralement considéré comme insuffisant, c'est par exemple le cas dans: (où ε ∼ N ( 0 , σ 2 ) , avec μ et σ inconnus) où le prieur suivant est préféré (au précédent de Jeffreys complet π ( μ , σ ) ∝ σ - 2 ): p ( μ , σ ) = π ( μ ) ⋅ π ( σ ) ∝ σ -

$$y_i=\mu + \varepsilon_i \, ,$$ $\varepsilon \sim N(0,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$\pi(\mu,\sigma)\propto \sigma^{-2}$ où π ( μ ) est le précédent de Jeffreys obtenu en gardant σ fixe (et de même pour p ( σ ) ). Cet a priori coïncide avec l'a prior de référence lors du traitement de σ et μ dans des groupes séparés. $$p(\mu,\sigma) = \pi(\mu) \cdot \pi(\sigma) \propto \sigma^{-1}\, ,$$ $\pi(\mu)$$\sigma$$p(\sigma)$$\sigma$$\mu$

Question 1: Pourquoi les traiter comme dans des groupes séparés a-t-il plus de sens que de les traiter dans le même groupe (ce qui entraînera, si je ne me trompe pas (?), Dans le Jeffreys complet avant, voir [1])?

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Considérons alors la situation suivante: où

$$y_i=g(x_i,\mathbf{\theta}) +\varepsilon_i\, ,$$ est inconnu, ε i ∼ N ( 0 , σ 2 ) , σ est inconnu et g est une fonction non linéaire connue. Dans un tel cas, il est tentant et d'après mon expérience parfois fructueuse de considérer la décomposition suivante: p ( σ , θ ) = π ( σ ) π ( θ $\theta \in \mathbb{R}^n$$\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$$\sigma$$g$ $$p(\sigma,\theta)=\pi(\sigma) \pi(\theta) \, ,$$ $\pi(\sigma)$$\pi(\theta)$

$p(\sigma,\theta)$

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[1] Sur https://theses.lib.vt.edu/theses/available/etd-042299-095037/unrestricted/etd.pdf :

Enfin, nous notons que le prieur de Jeffreys est un cas particulier d'un prieur de référence. Plus précisément, l'a prior de Jeffreys correspond à l'a prior de référence dans lequel tous les paramètres du modèle sont traités dans un seul groupe.

$\pi(\theta,\sigma)\propto \dfrac{1}{\sigma}$$\pi(\theta,\sigma)\propto \dfrac{1}{\sigma}^2$