Existe-t-il une autre interprétation pour une distribution Gamma avec un paramètre de forme non entier?

Il est bien connu qu'une variable aléatoire étant distribuée Gamma avec le paramètre de forme entière $k$ est équivalente à la somme des carrés de $k$ variables aléatoires normalement distribuées.

Mais que puis-je dire à propos d'une variable aléatoire distribuée gamma avec non entier $k$? Existe-t-il une autre interprétation que la distribution Gamma?

Si et Y ∼ G ( β , 1 ) sont indépendants alors X + Y ∼ G ( α + β , 1 ) En particulier, si X ∼ G ( α , 1 ) , il est distribué avec la même distribution que X 1 + ⋯ + X n ∼ G ( α , $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ pour tout n ∈ N . (Cette propriété est appeléedivisibilité infinie.) Cela signifie que, si X ∼ G ( α , 1 ) lorsque α n'est pas un entier, X a la même distribution que Y + Z avec Z indépendant de Y et Y ∼ G ( ⌊ α ⌋ , 1 $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ $n\in\mathbb N$$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha$$X$$Y+Z$$Z$$Y$ Cela implique également que les formes à valeur entière α n'ont pas de signification particulière pour Gammas. $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ $\alpha$

Inversement, si avec α < 1 , il a la même distribution que Y U 1 / α lorsque Y est indépendant de U ∼ U ( 0 , 1 ) et Y ∼ G ( α + 1 , 1 ) Et donc la distribution G ( α , 1 ) est invariante dans X ∼ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha<1$$YU^{1/\alpha}$$Y$$U\sim{\cal U}(0,1)$

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ ${\cal G}(\alpha,1)$ $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$