Prouver la transformation intégrale de probabilité sans supposer que le CDF augmente strictement

Je sais que la preuve de la transformation intégrale de probabilité a été donnée plusieurs fois sur ce site. Cependant, les preuves que j'ai trouvées utilisent l'hypothèse que le CDF$F_X(x)$ est en augmentation stricte (ensemble, bien sûr, avec l'hypothèse que $X$est une variable aléatoire continue). Je sais qu'en fait la seule hypothèse requise est que$X$est une variable aléatoire continue, et une monotonie stricte n'est pas requise. Pouvez-vous me montrer comment?

Comme je suis déjà là, j'en profite également pour demander une application simple de la transformation intégrale de probabilité :) pouvez-vous me montrer que si $X$ a CDF $F_X(x)$ et $Y$ est la troncature de $X$ à $[a,b]$, puis $Y$ est distribué comme $F_X^{-1}(U)$ où $U\sim[F_X(a),F_X(b)]$?

Dans le lien wikipedia fourni par l'OP, la transformation intégrale de probabilité dans le cas univarié est donnée comme suit

Supposons qu'une variable aléatoire $X$ a une distribution continue pour laquelle la fonction de distribution cumulative (CDF) est $F_X$. Ensuite, la variable aléatoire$Y=F_X(X)$a une distribution uniforme.
PREUVE
Étant donné une variable aléatoire$X$, définir $Y = F_X (X)$. Alors:

$$\begin{align} F_Y (y) &= \operatorname{Prob}(Y\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_X (y)) \\ &= F_X (F^{-1}_X (y)) \\ &= y \end{align}$$

$F_Y$ est juste le CDF d'un $\mathrm{Uniform}(0,1)$Variable aléatoire. Donc,$Y$ a une distribution uniforme sur l'intervalle $[0, 1]$.

Le problème avec ce qui précède est qu'il n'est pas précisé ce que le symbole $F_X^{-1}$représente. Si elle représentait l'inverse "habituel" (qui n'existe que pour les bijections), alors la preuve ci-dessus ne s'appliquerait qu'aux CDF continus et strictement croissants. Mais ce n'est pas le cas, car pour tout CDF nous travaillons avec la fonction quantile (qui est essentiellement un inverse généralisé),

Selon cette définition, la série d'égalités wikipedia continue de tenir, pour les CDF continus. L'égalité critique est

qui tient parce que nous examinons un CDF continu. Cela signifie en pratique que son graphe est continu (et sans parties verticales, puisqu'il s'agit d'une fonction et non d'une correspondance). À leur tour, cela implique que l' infimum (la valeur de inf {...}), le dénote$x(y)$, sera toujours tel que $F_X(x(y)) = y$. Le reste est immédiat.

En ce qui concerne les CDF de distributions discrètes (ou mixtes), il n'est pas (ne peut pas être) vrai que$Y=F_X(X)$ suit un uniforme $U(0,1)$, mais il est toujours vrai que la variable aléatoire $Z=F_{X}^{-1}(U)$ a une fonction de distribution $F_X$(donc l'échantillonnage par transformée inverse peut toujours être utilisé). Une preuve peut être trouvée dans Shorack, GR (2000). Probabilité pour les statisticiens . ch.7 .