Pourquoi est-ce que l'inclinaison à gauche est asymétrique et l'inclinaison à droite est asymétrique?

Ma réponse courte est que c'est par conception. Les mesures d'asymétrie sont généralement construites de telle sorte que l'asymétrie positive indique des distributions asymétriques à droite.

Aujourd'hui, la mesure d'asymétrie la plus courante , qui est également généralement enseignée dans les écoles, est basée sur la troisième équation du moment central comme suit:

μ_{3} = E [(X - μ)^{3}]

$\mu_3=E[(X-\mu)^3]$

Regardez l'expression ci-dessus. Lorsqu'il y a plus de poids (de la fonction de distribution) à droite de la moyenne, alors contribuera à des valeurs plus positives. La droite de la moyenne est positive, car et la gauche est négative parce que . Donc, mécaniquement, cela semble répondre exactement à votre question. $(x-\mu)^3$ $x>\mu$ $x<\mu$

Cependant, comme l'a mentionné @Nick Cox, il existe plus d'une mesure d'asymétrie, comme le premier coefficient d'asymétrie de Pearson , qui est basé sur le différence . Potentiellement, différentes mesures de l'asymétrie pourraient entraîner des relations différentes entre l'asymétrie positive et la tendance à avoir des queues plus lourdes à droite. $mean-mode$

Par conséquent, il est intéressant d'examiner pourquoi ces mesures d'asymétrie ont été introduites en premier lieu, et pourquoi ont-elles leurs formulations particulières.

Dans ce contexte, il est utile d'examiner l'exposé de l'asymétrie de Yule dans An Introduction to the Theory of Statistics (1912). Dans l'extrait suivant, il décrit les propriétés souhaitées d'une mesure d'asymétrie raisonnable. Fondamentalement, il exige que l'asymétrie positive corresponde à des distributions asymétriques droites, comme dans votre image:

Aksakal
la source

Correct, mais incomplet dans la mesure où il existe plusieurs autres façons de mesurer l'asymétrie. Mais tous ceux que je connais suivent la même convention que l'inclinaison droite et l'inclinaison gauche donnent généralement des résultats positifs et négatifs respectivement, comme par exemple (moyenne médiane) / SD. La seule chose certaine, cependant, est que les distributions symétriques ont une asymétrie nulle. Il est possible d'avoir des distributions asymétriques pour lesquelles différentes mesures d'asymétrie ne correspondent même pas au signe.

-

$-$

Nick Cox

Je vous crois, mais la question reste générale et bénéficie d'une réponse générale. En un siècle environ, une confusion considérable a déjà été provoquée en confondant une idée générale de l'asymétrie avec des façons particulières de la définir. (Je ne parlerai pas de kurtosis.)

Nick Cox

Les détails historiques ici sont très intéressants pour moi. Ma propre tentative de révision miniature met l'accent sur le fait que l'asymétrie basée sur le moment est antérieure à Pearson, bien que Pearson se préoccupe surtout de mesurer l'asymétrie par rapport au mode, comme le reflètent les commentaires de Yule. Voir stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0204 (En effet, Pearson était obscur dans sa reconnaissance des travaux antérieurs sur la mesure basée sur le moment.)

Nick Cox

L'extrait de Yule nous aide à voir au-delà des détails étrangers à l'essence de la réponse: une distribution dans laquelle la queue positive est considérée comme "plus longue" que la queue négative a une asymétrie positive. Tout le reste se résume à la façon dont on détermine les queues et mesure leurs longueurs.

whuber

Je ne vois pas comment la réponse pourrait perdre quoi que ce soit en mentionnant une ou deux autres mesures d'asymétrie (comme la mesure d'asymétrie médiane / seconde mesure d'asymétrie Pearson) et en soulignant que la discussion se poursuit (comme Nick le suggère).

Glen_b -Reinstate Monica

Pourquoi est-ce que l'inclinaison à gauche est asymétrique et l'inclinaison à droite est asymétrique?

Réponses: