Matrice de covariance inverse vs matrice de covariance dans l'ACP

En PCA, cela fait-il une différence si nous choisissons les principales composantes de la matrice de covariance inverse OU si nous laissons tomber les vecteurs propres de la matrice de covariance correspondant à de grandes valeurs propres?

Ceci est lié à la discussion dans ce post .

Observez que pour la matrice de covariance définie positive la précision est \ boldsymbol \ Sigma ^ {- 1} = \ mathbf {UD} ^ {- 1} \ mathbf U' .Σ - 1 = U D - 1 U$\mathbf \Sigma = \mathbf{UDU}'$$\boldsymbol \Sigma^{-1} = \mathbf {U D}^{-1} \mathbf U'$

Ainsi, les vecteurs propres restent les mêmes, mais les valeurs propres de la précision sont les inverses des valeurs propres de la covariance. Cela signifie que les plus grandes valeurs propres de la covariance seront les plus petites valeurs propres de la précision. Comme vous avez l'inverse, la précision positive garantit que toutes les valeurs propres sont supérieures à zéro.

Par conséquent, si vous conservez les vecteurs propres relatifs aux plus petites valeurs propres de la précision, cela correspond à l'ACP ordinaire. Puisque nous avons déjà pris des réciproques ( ), seule la racine carrée des valeurs propres de précision doit être utilisée afin de compléter le blanchiment des données transformées.D - $k$$\bf D^{-1}$

De plus, la matrice de covariance inverse est proportionnelle à la corrélation partielle entre les vecteurs:

Corr(Xi, Xj | (Xothers )

Corrélation entre Xi et Xj lorsque tous les autres sont fixes, elle est très utile pour les séries temporelles.