Dans CLT, pourquoi ?

Soit $X_1,...,X_n$ des observations indépendantes d'une distribution ayant la moyenne $\mu$ et la variance $\sigma^2 < \infty$ , lorsque $n \rightarrow \infty$ , alors

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$$

Pourquoi cela implique-t-il que

$$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$$

Votre interprétation est légèrement incorrecte. Le théorème central limite (CLT) implique que

$$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$$

En effet, le CLT est un résultat asymptotique, et nous ne traitons en pratique que d'échantillons finis. Cependant, lorsque la taille de l'échantillon est suffisamment grande, nous supposons que le résultat CLT est vrai en approximation, et donc

$$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$$

En effet, pour une variable aléatoire et les constantes , (ceci est utilisé dans la deuxième étape) et , (ceci est utilisé dans l'avant-dernière étape).a , b Var ( a X ) = a 2 Var ( X ) E ( b + X ) = b + E ( X ) Var ( b + X ) = Var ( X $X$$a,b$$\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$$E(b + X) = b + E(X)$$\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Lisez ceci pour plus d'explications sur l'algèbre.

La façon la plus simple de voir cela est de regarder la moyenne et la variance de la variable aléatoire .$\bar X_n$

Donc, indique que la moyenne est nulle et la variance est une. On a donc pour moyenne:$\mathcal{N}(0,1)$

E[a⋅x+b]=a⋅E[x]+ba,b ˉ X n≈

$$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$$ Utilisation de , où sont des constantes, on obtient: $E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$$a,b$ $$\bar{X}_n\approx\mu$$

Maintenant, en utilisant , où sont des constantes, nous obtenons ce qui suit pour la variance:$\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$$a,b$

$$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$$ $$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$$

Maintenant, nous savons que la moyenne et la variance de , et la distribution gaussienne (normale) avec ces moyenne et variance estN($\bar X_n$$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Vous vous demandez peut-être pourquoi passer par toutes ces algèbres? Pourquoi ne pas prouver directement que converge vers ?N($\bar X_n$$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

La raison en est qu'en mathématiques, il est difficile (impossible?) De prouver la convergence vers des choses changeantes, c'est-à-dire que le côté droit de l'opérateur de convergence doit être fixé pour que les mathématiciens utilisent leurs astuces pour prouver des déclarations. L' expression change avec , ce qui est un problème. Ainsi, les mathématiciens transforment les expressions de telle manière que le côté droit est fixe, par exemple est un joli côté droit fixe.N ( μ , σ $\rightarrow$nN(0,1$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$$n$$\mathcal{N}(0,1)$

Cela n'implique pas la normalité de , sauf comme approximation. Mais si nous prétendons un instant que est exactement normal normal alors nous avons le résultat que normal lorsque normal . Une façon de voir cela est via la fonction de génération de moment$\bar{X}_n$$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$$\tau Z + \mu \sim$$(\mu, \tau^2)$$Z \sim$$(0, 1)$

$$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$$

qui est le mgf normal$(\mu, \tau^2)$