Distribution de type normal sur une zone délimitée

Existe-t-il une distribution qui ressemble à la distribution gaussienne (normale), mais telle que sa densité de probabilité n'est pas nulle uniquement sur un segment défini.

La question est apparue lorsque j'ai essayé de modéliser la «propagation des balles» dans un cercle. La distribution gaussienne fonctionne bien, mais il y a toujours une chance que la balle frappe à l'extérieur du cercle. Je voudrais donc trouver une distribution très similaire à la gaussienne, mais avec la propriété que la probabilité en dehors du segment (ou cercle) défini est nulle.

EDIT: Oui, en fait je veux dire un disque, pas un cercle. EDIT: Et oui, je n'ai besoin que d'une distribution unidimensionnelle (le long du rayon d'un disque) qui sera circulaire-symétrique (ne dépend pas de l'angle).

Vous pouvez utiliser une distribution normale tronquée. C'est juste une distribution normale pour laquelle vous ne considérez qu'un intervalle. Vous devez le redimensionner pour vous assurer que le pdf s'intègre à 1. Mais cela me semble être exactement ce que vous recherchez.

La distribution de VonMises est similaire à la normale, mais est utilisée avec des données circulaires et est définie uniquement sur l'intervalle d'un cercle (0-360 degrés ou 0-2pi radians).

La distribution bêta est définie de 0 à 1 (mais pourrait être mise à l'échelle à d'autres intervalles), avec les paramètres égaux, elle est symétrique et pour de nombreuses valeurs en forme de cloche.

C'est une vieille question, mais elle est toujours pertinente pour les nouveaux lecteurs. Je suis surpris que personne n'ait mentionné la distribution du cosinus surélevé .

Avec les paramètres moyens et spread il est parfaitement borné en et sa fonction de densité de probabilité (PDF) a également une courbe en forme de cloche.$\mu$$s$$[\mu - s, \mu + s]$

+1 pour la réponse d'échantillonnage de rejet.

Pourriez-vous également échantillonner à partir de la distribution bêta où (aka ) est 1 et (aka )? Ceci est défini sur [0,1], donc multipliez par le rayon du disque, et vous n'aurez aucune probabilité de sélectionner des points dans le rayon ou plus.$\alpha$shape1$\beta \gt 1$shape2

Les avantages incluent: a) il y a une probabilité nulle de sélectionner une distance supérieure ou égale au rayon, et b) vous pouvez faire un échantillonnage simple plutôt que des choses comme l'échantillonnage de rejet.

Les inconvénients incluent: a) il est agité près de 0 et b) la distribution n'est pas "très similaire" à la gaussienne. (Il est beaucoup plus élevé près de 0 - c'est-à-dire au centre - que le gaussien, bien que cela puisse en effet être ce que le PO souhaite.)

Il semble que ce qui est recherché soit une distribution uniforme sur un disque, que je considérerai comme (l'intérieur du) cercle unitaire. On peut paramétrer par donc on a et . Nous pouvons laisser avoir une distribution uniforme, indépendante de , et devons trouver la distribution de qui donne une distribution uniforme sur le cercle. Puisque la probabilité doit être proportionnelle à l'aire, nous avons pour que et en prenant , donne$(r,\theta)$$0 \le r \le 1$$0 \le \theta \le 2\pi$$\theta$$R$$R$$0 \le a \le b \le 1$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(a\le R \le b) \propto \pi b^2 - \pi a^2$$ $a=0$$b=1$$F_R(r)= r^2$. Alors la densité est la dérivée . La densité conjointe de et devient alors Ceci est facile à simuler à partir de la somme de deux indépendants les uniformes ont une distribution triangulaire (et symétrique), parfois décrite comme une distribution «en tente». Nous voulons seulement la partie gauche de la tente, que nous pouvons obtenir en reflétant la distribution sur une ligne verticale en haut (mode) de la tente. Simuler cela dans R donne:$f_R(r)=2r$$R$$\theta$ $$f(r,\theta)=\frac1{2\pi}\cdot 2r = \frac{r}{\pi}$$

Le code R de la simulation est:

set.seed(7*11*13)
rleft_tri  <-  function(n) {
    T  <-  runif(n)+runif(n)
    val  <-  ifelse(T <= 1,T, 2-T)
    val
}

rdisk  <-  function(n)  {
    val  <-  cbind(  rleft_tri(n),  2*pi*runif(n) )
    colnames(val)  <-  c("R","Theta")
    val
    }

#

library(plotrix)
par(bg="antiquewhite")
points  <- rdisk(10000)         plot(c(-1,1),c(-1,1),type="n",axes=FALSE,xlab="",ylab="",xlim=c(-1.1,1.1),ylim=c(-1.1,1.1))
    draw.circle(x=c(0,0),y=c(0,0),radius=1,col="aquamarine")
    points(with(as.data.frame(points),cbind(R*cos(Theta), R*sin(Theta))),pch=".",col="red",cex=2)

Notez qu'il s'agit d'un cas particulier de l'ancienne réponse de @Greg Snow, car la distribution «tente gauche» est une distribution bêta avec les paramètres . Mais le code ci-dessus pour le simuler est probablement plus rapide que le code général pour simuler à partir d'une version bêta (ou le serait s'il était programmé en C).$a=2, b=1$