Quelle est la distribution de la somme des variables non gaussiennes?

Si est distribué , est distribué et , je sais que est distribué si X et Y sont indépendants. $X$ $N(\mu_X, \sigma^2_X)$ $Y$ $N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ $Z = X + Y$ $Z$ $N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$

Mais que se passerait-il si X et Y n'étaient pas indépendants, c'est-à-dire $(X, Y) \approx N\big( (\begin{smallmatrix} \mu_X\\\mu_Y \end{smallmatrix}) , (\begin{smallmatrix} \sigma^2_X && \sigma_{X,Y}\\ \sigma_{X,Y} && \sigma^2_Y \end{smallmatrix}) \big)$

Cela affecterait-il la distribution de la somme ? $Z$

normal-distribution mathematical-statistics JCWong
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Je voudrais juste souligner qu'il existe toutes sortes de distributions conjointes pour autres que la normale bivariée qui ont toujours et marginalement normales. Et cette distinction ferait une énorme différence dans les réponses.

(X, Y)

$(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$

@ G.JayKerns Je conviens que si et sont normaux mais pas nécessairement conjointement normaux, alors peut avoir une distribution autre que la normale. Mais la déclaration de l'OP selon laquelle "

est distribué

sont indépendants." est absolument correct. Si

sont marginalement normaux (comme le dit la première partie de la phrase) et indépendants (selon l'hypothèse de la deuxième partie de la phrase), ils sont également conjointement normaux. Dans la question du PO , la normalité commune est supposée explicitement et toute combinaison linéaire de

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

Z

$Z$

N (μ_{x} + μ_{y}, σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2})

$N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$ et

Y

$Y$ est normal.

Dilip Sarwate

@Dilip, je tiens à préciser que la question n'est pas fausse et que votre réponse n'est pas fausse (+1) (ni les probabilités, ni (+1)). Je faisais simplement remarquer que si

X

$X$ et

Y

$Y$ sont dépendants, il n'est pas nécessaire qu'ils soient conjointement normaux, et il n'était pas clair que le PO ait envisagé cette possibilité. De plus, j'ai bien peur (même si je n'ai pas passé beaucoup de temps à penser) que sans d'autres hypothèses (comme la normalité conjointe), la question pourrait même être sans réponse.

Comme @ G.JayKerns le mentionne, nous pouvons bien sûr avoir toutes sortes de comportements intéressants si nous considérons des normales distribuées marginalement, mais pas conjointement. Voici un exemple simple: Soit soit normale standard et avec une probabilité 1/2 chacun, indépendamment de . Soit . Alors, est également normal, mais est exactement égal à zéro avec une probabilité de 1/2 et égal à avec une probabilité de 1/2.

X

$X$

ε = \pm 1

$\varepsilon = \pm 1$

X

$X$

Y = ε X

$Y = \varepsilon X$

Y

$Y$

Z = X + Y

$Z = X+Y$

2 X

$2X$

cardinal

Nous pouvons obtenir toute une variété de comportements en considérant la copule bivariée associée à via le théorème de Sklar . Si nous utilisons la copule gaussienne, alors nous obtenons sont conjointement normales, et donc est normalement distribué. Si la copule n'est pas la copule gaussienne, alors et sont toujours marginalement distribués comme normaux, mais ne sont pas conjointement normaux et la somme ne sera donc pas normalement distribuée, en général.

(X, Y)

$(X,Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

Z = X + Y

$Z = X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

cardinal

Réponses:

Voir mon commentaire sur la réponse de probistislogic à cette question . Ici, oùest lacovariancedeet. Personne n'écrit les entrées non diagonales dans la matrice de covariance sous la forme comme vous l'avez fait. Les entrées hors diagonale sont des covariances qui peuvent être négatives.

\begin{aligned} X + Y & \sim N (μ_{X} + μ_{Y}, σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 σ_{X, Y}) \\ a X + b Y & \sim N (a μ_{X} + b μ_{Y}, a^{2} σ_{X}^{2} + b^{2} σ_{Y}^{2} + 2 a b σ_{X, Y}) \end{aligned}

$\begin{align*} X + Y &\sim N(\mu_X + \mu_Y,\; \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_{X,Y})\\ aX + bY &\sim N(a\mu_X + b\mu_Y,\; a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\sigma_{X,Y}) \end{align*}$

σ_{X, Y}

$\sigma_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{x y}^{2}

$\sigma_{xy}^2$

Dilip Sarwate
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@Kodiologist Merci! Je suis surpris que les fautes de frappe restent inaperçues pendant plus de 4 ans.

Dilip Sarwate

La réponse de @ dilip est suffisante, mais je pensais simplement que j'ajouterais quelques détails sur la manière dont vous obtenez le résultat. Nous pouvons utiliser la méthode des fonctions caractéristiques. Pour tout de distribution de dimension normale multivariée où et $d$ $X\sim N_{d}(\mu,\Sigma)$ $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)^T$ , la fonction caractéristique est donnée par: $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)\;\;j,k=1,\dots,d$

φ_{X} (t) = E [\exp (i t^{T} X)] = \exp (i t^{T} μ - \frac{1}{2} t^{T} Σ t)

$\varphi_{X}({\bf{t}})=E\left[\exp(i{\bf{t}}^TX)\right]=\exp\left(i{\bf{t}}^T\mu-\frac{1}{2}{\bf{t}}^T\Sigma{\bf{t}}\right)$

= \exp (i \sum_{j = 1}^{d} t_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} t_{j} t_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(i\sum_{j=1}^{d}t_j\mu_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}t_jt_k\Sigma_{jk}\right)$

$Y\sim N_1(\mu_Y,\sigma_Y^2)$

φ_{Y} (t) = \exp (i t μ_{Y} - \frac{1}{2} t^{2} σ_{Y}^{2})

$\varphi_Y(t)=\exp\left(it\mu_Y-\frac{1}{2}t^2\sigma_Y^2\right)$

$Z={\bf{a}}^TX=\sum_{j=1}^{d}a_jX_j$ $d=2$ $a_1=a_2=1$ $Z$ $X$

φ_{Z} (t) = E [\exp (i t Z)] = E [\exp (i t a^{T} X)] = φ_{X} (t a)

$\varphi_{Z}(t)=E\left[\exp(itZ)\right]=E\left[\exp(it{\bf{a}}^TX)\right]=\varphi_{X}(t{\bf{a}})$

= \exp (i t \sum_{j = 1}^{d} a_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} t^{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} a_{j} a_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(it\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j-\frac{1}{2}t^2\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}\right)$

$\varphi_Y(t)$ $\mu_Y$ $\mu_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j$ $\sigma_Y^2$ $\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}$ $Z$ $Y$ $Z$ $\Sigma_{jk}=\Sigma_{kj}$

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{d} a_{j}^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{d} \sum_{k = 1}^{j - 1} a_{j} a_{k} Σ_{j k}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{d}\sum_{k=1}^{j-1}a_ja_k\Sigma_{jk}$

$\Sigma_{jj}=var(X_j)$ $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)$ $d=2$ $a_1=a_2=1$

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{2} (1)^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{2} \sum_{k = 1}^{j - 1} (1) (1) Σ_{j k} = Σ_{11} + Σ_{22} + 2 Σ_{21}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{2}(1)^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{2}\sum_{k=1}^{j-1}(1)(1)\Sigma_{jk}=\Sigma_{11}+\Sigma_{22}+2\Sigma_{21}$

probabilislogic
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+1 Thanks for taking the time to write out the details. Can this question be made part of the FAQ?

Dilip Sarwate