Existe-t-il de véritables statistiques derrière «le théorème de Pythagore du baseball»?

Je lis un livre sur la sabermétrie, en particulier les mathématiques de Wayne Winston, et dans le premier chapitre, il présente une quantité qui peut être utilisée pour prédire le taux de victoire des équipes: et il semble laisser entendre qu'au milieu de la saison, il peut être utilisé pour prédire le taux de victoire mieux que le taux de victoire de la première moitié de la saison. Il généralise la formule à où est le rapport des points marqués aux points contre. Il trouve ensuite l'exposant le mieux adapté pour prédire le% de matchs gagnés, pour 3 sports, et trouve pour

$$\frac{\text{Points Scored}^2 }{\text{Points Scored}^2 + \text{Points Against}^2} \approx \text{% Games Won},$$ $$\frac{R^{\text{exp}}}{R^{\text{exp}} + 1},$$ $R$ $$\text{Baseball: exp} \approx 2 ,$$ $$\text{Football: exp} \approx 2.7,$$ $$\text{Basketball: exp} \approx 14.$$ Mais je me suis rendu compte que vous pouvez exprimer le% de matchs gagnés en termes de points marqués et de points contre pour chaque match , spécifiquement% les parties gagnées sont exactement la fraction de parties où les points marqués sont supérieurs aux points contre : où est la fonction d'indicateur.$i$$PS_i$$PA_i$ $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I\left (PS_i > PA_i\right ),$$ $I$

Par conséquent ma question est:

$$\frac{ \left ( \sum_{i=1}^n PS_i \right )^x }{ \left ( \sum_{i=1}^nPS_i \right )^x + \left ( \sum_{i = 1}^n PA_i \right )^x } \approx \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I\left (PS_i > PA_i \right )$$

Existe-t-il un moyen analytique de trouver le MLE pour ? Pardonnez-moi si j'ai fait des erreurs naïves, je m'auto-apprends surtout des statistiques.$x$

Miller (2007) a examiné les fondements mathématiques / statistiques de la «règle de Pythagore». Cet article a montré que si le nombre de points marqués par chaque équipe dans chaque match suit une distribution de Weibull avec un paramètre de forme commun mais des paramètres d'échelle différents, alors la forme généralisée de la règle de Pythagore (avec une puissance généralisée ) émerge comme prévu gagner la probabilité.$\gamma$$\gamma$

Ce document correspond également au modèle de Weibull posé aux données de baseball de 14 équipes jouant dans la Ligue américaine de 2004. Les résultats montrent un ajustement du modèle raisonnable, avec utilisant diverses techniques d'estimation. Cela suggère que la règle de Pythagore généralisée peut être une technique de prédiction raisonnable pour les prédictions victoires-pertes, mais le paramètre de puissance devrait être un peu inférieur à la valeur au carré qui apparaît dans le livre de Winston.$\hat{\gamma} \approx 1.74 \text{-} 1.82$

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Miller, S. (2007) Une dérivation de la formule de victoire de Pythagore en baseball . Chance 20 (1) , p. 40-48.