Intervalles de chevauchement aléatoires

Comment trouver une expression analytique dans le problème suivant? $D(n,l,L)$

Je dépose aléatoirement "barres" de longueur dans un intervalle . Les "barres" peuvent se chevaucher. Je voudrais trouver la longueur totale moyenne de l'intervalle occupée par au moins une "barre". $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

Dans la limite "basse densité", le chevauchement doit être négligeable et . Dans la limite « haute densité », approche . Mais comment puis-je obtenir une expression générale pour ? Cela devrait être un problème statistique assez fondamental, mais je n'ai pas trouvé de solution explicative dans les forums. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Toute aide serait grandement appréciée.

Notez que les barres sont supprimées vraiment au hasard (statistiquement indépendantes) les unes des autres.

probability distributions Daniel
la source

Est-ce une question d'un cours ou d'un manuel? Si oui, veuillez ajouter la [self-study]balise et lire son wiki .

gung - Rétablir Monica

Non ce n'est pas. vous pouvez calculer facilement la longueur occupée moyenne avec un ordinateur par échantillonnage, mais le problème semble fondamental qu'il doit y avoir une approche théorique pour le résoudre. Puisque mes tentatives ont toutes échoué, j'étais simplement curieux de savoir comment le faire.

Daniel

Quel est votre modèle pour savoir comment les barres sont "déposées" sur [0, L]? Est-il possible qu'ils dépassent des bords? Modifier: votre dessin et votre réponse le suggèrent.

Adrian

Trouver la probabilité qu'une donnée est PAS couvert - qui est une intersection événements iid. La longueur attendue d'une portion découverte est alors simplement .

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

Réponses:

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

La probabilité qu'un point dans soit occupé par une seule barre baissée est $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ .

De même, la probabilité d'être vide est . La probabilité qu'un point donné soit toujours vide après barres abandonnées est , et d'être occupé est $P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

pour grand . $n$

Ensuite, la longueur moyenne occupée dans après "gouttes de barre" aléatoires est $[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ .

Daniel
la source

Vous êtes sur la bonne voie, mais certains signes indiquent que des soins supplémentaires pourraient être nécessaires. Le plus important est peut-être le fait que les événements associés à deux points quelconques ne sont pas indépendants: qu'est-ce qui justifie alors la multiplication des probabilités? Je crois également que votre expression pour est incorrecte. Considérons, par exemple, le cas où . D'après votre dessin, il semble que vous supposiez que l'extrémité gauche de la barre a une distribution uniforme sur l'intervalle . Par conséquent, la chance que soit couvert est , ce qui n'est pas égal à .

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

whuber

Merci pour les indices. Vous avez raison, j'aurais dû écrire qu'il est censé y avoir une corrélation nulle entre les "dessins" aléatoires. Et vous avez également raison, la solution ci-dessus n'est valable que lorsque les barres ne sont pas autorisées à dépasser. Comment le problème pourrait-il être résolu en les laissant dépasser?

Daniel

Mon point est que même lorsque les barres sont supprimées de manière aléatoire et indépendante , pour tout les événements "cette barre couvre le point " et "cette même barre couvre le point " sont fortement interdépendants. En particulier, si , elles ne peuvent pas se produire simultanément. Une façon de gérer cela rigoureusement consiste à relier les probabilités aux attentes.

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

whuber

J'ai considéré les effets de frontière maintenant. Je comprends que l'occupation de deux points différents dans l'intervalle est corrélée, mais je ne vois pas comment cela affecterait la solution.

Daniel