Pour l'intuition, quels sont des exemples concrets de variables aléatoires non corrélées mais dépendantes?

Pour expliquer pourquoi non corrélé n'implique pas indépendant, il existe plusieurs exemples qui impliquent un tas de variables aléatoires, mais elles semblent toutes si abstraites: 1 2 3 4 .

Cette réponse semble logique. Mon interprétation: Une variable aléatoire et son carré peuvent ne pas être corrélés (car apparemment, le manque de corrélation est quelque chose comme l'indépendance linéaire) mais ils sont clairement dépendants.

Je suppose qu'un exemple serait que (standardisé?) La hauteur et la hauteur pourraient être non corrélées mais dépendantes, mais je ne vois pas pourquoi quelqu'un voudrait comparer la hauteur et la hauteur . $^2$ $^2$

Pour donner de l'intuition à un débutant en théorie des probabilités élémentaires ou à des fins similaires, quels sont des exemples concrets de variables aléatoires non corrélées mais dépendantes?

correlation independence non-independent garch intuition BCLC
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Cela ne répond pas à votre question, mais semble pertinent: Parfois, un RV et son carré sont corrélés et parfois non corrélés. Par exemple, si X est uniforme sur [0,1], alors X et X ^ 2 ne sont pas corrélés. Mais si X est uniforme sur [-1, 1], alors X et X ^ 2 ne sont pas corrélés. (Dessinez une image pour aider à voir cela.) Cependant, dans les deux cas, X et X ^ 2 sont dépendants.

Martha

@Martha, il y a une faute de frappe dans votre commentaire. Je pense que c'est le premier «non corrélé» qui devrait être «corrélé». ;)

Un vieil homme dans la mer.

@Anoldmaninthesea corrélé et parfois corrélé?

BCLC

@BCLC "si X est uniforme sur [0,1], alors X et X ^ 2 ne sont pas corrélés." Doit être "si X est uniforme sur [0,1], alors X et X ^ 2 sont corrélés", je pense.

Un vieil homme dans la mer.

@Anoldmaninthesea Vous avez raison: corrélé sur [0,1], mais non corrélé sur [-1,1]. Merci d'avoir souligné la faute de frappe.

Martha

Réponses:

En finance, les effets GARCH (hétéroscédasticité conditionnelle autorégressive généralisée) sont largement cités ici: rendements boursiers , avec le prix au temps , eux-mêmes ne sont pas corrélés avec leur propre passé si les marchés boursiers sont efficaces (sinon, vous pourriez facilement et avec profit prédire où vont les prix), mais leurs carrés et $r_t:=(P_t-P_{t-1})/P_{t-1}$ $P_t$ $t$ $r_{t-1}$ $r_t^2$ ne le sont pas: il y a une dépendance temporelle dans les variances, qui se regroupent dans le temps, avec des périodes de forte variance dans les temps volatils. $r_{t-1}^2$

Voici un exemple artificiel (encore une fois, je sais, mais les "vraies" séries de rendements boursiers peuvent bien ressembler):

Vous voyez le cluster à forte volatilité autour de en particulier . $t\approx400$

Généré à l'aide

library(TSA)
garch01.sim <- garch.sim(alpha=c(.01,.55),beta=0.4,n=500)
plot(garch01.sim, type='l', ylab=expression(r[t]),xlab='t')

Christoph Hanck
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Merci le vaillant roi des rennes piquants Hanck. Un peu de rigueur s'il vous plait? ^ - ^ Par retours sur actions, voulez-vous dire Rt = (St + 1-St) / St? Carrés de St ou carrés ou Rt?

BCLC

J'ai ajouté une petite précision

Christoph Hanck

Est-ce que c'est R?

$\$

BCLC

Il s'agit de R. Il nécessite le package TSA .

toliveira

Un exemple simple est une distribution bivariée uniforme sur une zone en forme de beignet. Les variables ne sont pas corrélées, mais clairement dépendantes - par exemple, si vous savez qu'une variable est proche de sa moyenne, alors l'autre doit être éloignée de sa moyenne.

Russ Lenth
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Quelles sont exactement les deux variables?

BCLC

X

$X$

Y

$Y$

f (x, y) = 1 / 3 π

$f(x,y) = 1 / 3\pi$

1 < x^{2} + y^{2} < 2

$1 < x^2+y^2 < 2$

0

$0$

Eh bien, je suppose que les exemples de physique sont la vraie vie. Merci rvl. Pourquoi votre exemple est-il vrai?

BCLC

Tracez un graphique de la région où la densité n'est pas nulle et réfléchissez-y.

Russ Lenth

J'ai trouvé que la figure suivante de wiki est très utile pour l'intuition. En particulier, la ligne du bas montre des exemples de distributions non corrélées mais dépendantes.

Légende de l'intrigue ci-dessus dans le wiki: plusieurs ensembles de points (x, y), avec le coefficient de corrélation de Pearson de x et y pour chaque ensemble. Notez que la corrélation reflète le bruit et la direction d'une relation linéaire (rangée du haut), mais pas la pente de cette relation (au milieu), ni de nombreux aspects des relations non linéaires (en bas). NB: la figure au centre a une pente de 0 mais dans ce cas le coefficient de corrélation n'est pas défini car la variance de Y est nulle.

Yuqian
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