Moyenne et variance d'une distribution de Poisson gonflée à zéro

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Quelqu'un peut-il montrer comment la valeur et la variance attendues du Poisson gonflé zéro, avec la fonction de masse de probabilité

f(y)={π+(1π)eλ,if y=0(1π)λyeλy!,if y=1,2....

est la probabilité que l'observation soit nulle par un processus binomial et λ est la moyenne du Poisson, est-elle dérivée?πλ

Le résultat est la valeur attendue et la variance est μ + πμ=(1π)λ.μ+π1πμ2

AJOUTER: Je recherche un processus. Par exemple, pouvez-vous utiliser une fonction de génération de moment? En fin de compte, j'aimerais voir comment faire pour mieux comprendre le gamma gonflé zéro et d'autres, aussi.

B_Miner
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Il semble que vous connaissiez un modèle expliquant comment une telle distribution de probabilité se produirait. Pouvez-vous l'utiliser pour vous aider?
Cardinal

Réponses:

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Méthode 0 : le statisticien paresseux.

y0f(y)=(1π)pypyyy=0

μ=(1π)λ
EY2=(1π)(λ2+λ).

Var(Y)=EY2μ2

Méthode 1 : un argument probabiliste.

ZBer(1π)YPoi(λ)

X=ZY.
XfP(X=0)=P(Z=0)+P(Z=1,Y=0)=π+(1π)eλP(X=k)=P(Z=1,Y=k)k0

De là, le reste est facile, car par l'indépendance de et , et, ZY

μ=EX=EZY=(EZ)(EY)=(1π)λ,
Var(X)=EX2μ2=(EZ)(EY2)μ2=(1π)(λ2+λ)μ2=μ+π1πμ2.

Méthode 2 : calcul direct.

La moyenne est facilement obtenue par une légère astuce consistant à extraire un et à réécrire les limites de la somme. λ

μ=k=1(1π)keλλkk!=(1π)λeλj=0λjj!=(1π)λ.

Une astuce similaire fonctionne pour le deuxième instant: partir de là, nous pouvons procéder à l'algèbre comme dans la première méthode.

EX2=(1π)k=1k2eλλkk!=(1π)λeλj=0(j+1)λjj!=(1π)(λ2+λ),

Addendum : Ceci détaille quelques astuces utilisées dans les calculs ci-dessus.

Rappelons d'abord que .k=0λkk!=eλ

Deuxièmement, notez que où la substitution été effectuée dans l'avant-dernière étape.

k=0kλkk!=k=1kλkk!=k=1λk(k1)!=k=1λλk1(k1)!=λj=0λjj!=λeλ,
j=k1

En général, pour le Poisson, il est facile de calculer les moments factoriels depuis donc . On arrive à "sauter" au ème indice pour le début de la somme dans la première égalité puisque pour tout , puisque exactement un terme dans le produit est zéro.EX(n)=EX(X1)(X2)(Xn+1)

eλEX(n)=k=nk(k1)(kn+1)λkk!=k=nλnλkn(kn)!=λnj=0λjj!=λneλ,
EX(n)=λnn0k<nk(k1)(kn+1)=0
cardinal
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Cardinal, c'est fantastique. Pourriez-vous donner un détail rapide sur le retrait du ? Ma sommation est <très> rouillée. Merci! λ
B_Miner
Merci encore pour ça. Cela peut être une question facile, mais qu'arrive-t-il à la partie supérieure du pdf (lorsque y = 0) pourquoi n'est-il pas inclus dans le calcul de ? π+(1π)eλμ
B_Miner
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Rappelez la définition de la valeur attendue pour une variable aléatoire discrète: . Donc pour , le terme dans la valeur attendue est . y = 0 0 ( π + ( 1 - π ) e - λ ) = 0μ=EY=y=0yP(Y=y)y=00(π+(1π)eλ)=0
cardinal