Quelqu'un peut-il montrer comment la valeur et la variance attendues du Poisson gonflé zéro, avec la fonction de masse de probabilité
où est la probabilité que l'observation soit nulle par un processus binomial et λ est la moyenne du Poisson, est-elle dérivée?
Le résultat est la valeur attendue et la variance est μ + π.
AJOUTER: Je recherche un processus. Par exemple, pouvez-vous utiliser une fonction de génération de moment? En fin de compte, j'aimerais voir comment faire pour mieux comprendre le gamma gonflé zéro et d'autres, aussi.
Réponses:
Méthode 0 : le statisticien paresseux.
Méthode 1 : un argument probabiliste.
De là, le reste est facile, car par l'indépendance de et , et,Z Y
Méthode 2 : calcul direct.
La moyenne est facilement obtenue par une légère astuce consistant à extraire un et à réécrire les limites de la somme.λ
Une astuce similaire fonctionne pour le deuxième instant: partir de là, nous pouvons procéder à l'algèbre comme dans la première méthode.
Addendum : Ceci détaille quelques astuces utilisées dans les calculs ci-dessus.
Rappelons d'abord que .∑∞k=0λkk!=eλ
Deuxièmement, notez que où la substitution été effectuée dans l'avant-dernière étape.
En général, pour le Poisson, il est facile de calculer les moments factoriels depuis donc . On arrive à "sauter" au ème indice pour le début de la somme dans la première égalité puisque pour tout , puisque exactement un terme dans le produit est zéro.EX(n)=EX(X−1)(X−2)⋯(X−n+1)
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