Si et , ?

Ce ne sont pas des devoirs.

Soit $X$ une variable aléatoire. Si $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ et $\text{Var}[X] = 0$ , est-ce que $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Intuitivement, cela semble évident, mais je ne sais pas comment je le prouverais. Je sais pertinemment que d'après les hypothèses, il s'ensuit que $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Donc

$$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$$ Cela ne me mène nulle part. Je pourrais essayer $$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$$ Maintenant depuis $\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , il s'ensuit que $\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ également.

Mais si je devais utiliser l'égalité,

$$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$$ alors mon instinct est que $\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , de sorte que $X \equiv k$ .

Comment pourrais-je le savoir? Je suppose une preuve par contradiction.

Si, au contraire, $X \neq k$ pour tous $X$ , puis $(X-k)^2 > 0$ et $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ pour tout $X$ . Nous avons une contradiction, donc $X \equiv k$ .

Ma preuve est-elle solide - et si oui, existe-t-il peut-être une meilleure façon de prouver cette affirmation?

Voici une preuve théorique de mesure pour compléter les autres, en utilisant uniquement des définitions. Nous travaillons sur un espace de probabilité . Notez que et considérez l'intégrale . Supposons que pour certains , il existe tel que sur et . Alors rapproche de d'en bas, donc par la définition standard de comme le supremum d'intégrales de fonctions simples se rapprochant d'en bas, $(\Omega, \mathcal F, P)$$Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$$\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$$\epsilon>0$$A\in \mathcal F$$Y>\epsilon$$A$$P(A)>0$$\epsilon I_A$$Y$$\mathbb E Y$

$$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$$ ce qui est une contradiction. Ainsi, , . Terminé.$\forall \epsilon>0$$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

Prouvez cela par contradiction. Par la définition de la variance et vos hypothèses, vous avez

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$$

où est la densité de probabilité de . Notez que et sont pas négatifs.$f$$X$$(x-k)^2$$f(x)$

Maintenant, si , alors$P(X=k)<1$

$$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$$

est de mesure supérieure à zéro, et . Mais alors$k\notin U$

$$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

(un argument -style pourrait être inclus ici) et donc$\epsilon$

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

et votre contradiction.

Qu'est-ce que ? Est-ce la même chose que as?$X \equiv k$$X = k$

ETA: Iirc,$X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Quoi qu'il en soit, il est évident que

$$(X-E[X])^2 \ge 0$$

Supposer

$$E[X-E[X])^2] = 0$$

alors

$$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$$

La dernière étape, je crois, implique la continuité des probabilités ... ou ce que vous avez fait (vous avez raison).

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Il y a aussi l'inégalité de Chebyshev :

$\forall \epsilon > 0$ ,

$$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$$

$$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$$

$$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$$

Bonne conversation à nouveau .

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Btw pourquoi est-ce que

$$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$$

?

Il me semble que alors que$LHS = k$$RHS = k^2$