Je pense que les deux formules suivantes sont vraies:
tandis que a est un nombre constant
si , Y sont indépendants
Cependant, je ne suis pas sûr de ce qui ne va pas avec ce qui suit:
qui n'est pas égal à , soit .
Si on suppose que est l'échantillon prélevé dans une population, je pense que nous pouvons toujours supposer pour être indépendant des autres s.
Alors, quel est le problème avec ma confusion?
Réponses:
Le problème avec votre raisonnement est
X X X XX n'est pas indépendant de . Le symbole est utilisé ici pour faire référence à la même variable aléatoire. Une fois que vous connaissez la valeur du premier à apparaître dans votre formule, cela corrige également la valeur du second à apparaître. Si vous voulez qu'ils se réfèrent à des variables aléatoires distinctes (et potentiellement indépendantes), vous devez les désigner avec des lettres différentes (par exemple et ) ou en utilisant des indices (par exemple et ); cette dernière est souvent (mais pas toujours) utilisée pour désigner des variables tirées de la même distribution.X X X X Y X 1 XX Y X1 X2
Si deux variables et sont indépendantes alors est le même que : connaître la valeur de ne nous donne pas d'informations supplémentaires sur la valeur de . Mais est si et autrement: connaître la valeur de vous donne des informations sur la valeur de . [Vous pouvez remplacer les probabilités dans ce paragraphe par des fonctions de distribution cumulative, ou, le cas échéant, des fonctions de densité de probabilité, pour essentiellement le même effet.]Y Pr ( X = a | Y = b ) Pr ( X = a ) Y X Pr ( X = a | X = b ) 1 a = b 0 X XX Y Pr(X=a|Y=b) Pr(X=a) Y X Pr(X=a|X=b) 1 a=b 0 X X
Une autre façon de voir les choses est que si deux variables sont indépendantes alors elles ont une corrélation nulle (bien que la corrélation nulle n'implique pas l'indépendance !) Mais est parfaitement corrélé avec lui-même, donc ne peut pas être indépendant de lui-même. Notez que puisque la covariance est donnée par , alorsCorr ( X , X ) = 1 X Cov ( X , Y ) = Corr (X Corr(X,X)=1 X Cov(X,XCov(X,Y)=Corr(X,Y)Var(X)Var(Y)−−−−−−−−−−−−√
La formule plus générale de la variance d'une somme de deux variables aléatoires est
En particulier, , doncCov(X,X)=Var(X)
qui est le même que vous auriez déduit de l'application de la règle
Si vous êtes intéressé par la linéarité, alors vous pourriez être intéressé par la bilinéarité de la covariance. Pour les variables aléatoires , , et (qu'elles soient dépendantes ou indépendantes) et les constantes , , et nous avonsX Y Z a b cW X Y Z a b c d
et dans l'ensemble,
Vous pouvez ensuite l'utiliser pour prouver les résultats (non linéaires) de la variance que vous avez écrits dans votre message:
Ce dernier donne, comme cas particulier lorsque ,a=b=1
Lorsque et sont pas corrélés (ce qui inclut le cas où ils sont indépendants), cela se réduit à . Donc, si vous voulez manipuler les variances de manière "linéaire" (ce qui est souvent une bonne façon de travailler algébriquement), utilisez plutôt les covariances et exploitez leur bilinéarité.X Y Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
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2+PRNG(6)+PRNG(6)
souvent est comment vous lancer les dés comme ci - dessus et / ou notation / conventions telles que dans lequel différentes instances sont véritablement destinées à être indépendantes.Une autre façon de penser à ce sujet est que , avec des variables aléatoires .2X≠X+X
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