Les chances simplifiées

J'ai de la difficulté à comprendre les cotes et je voudrais juste une explication de base pour les interpréter.

J'ai trouvé divers articles liés aux cotes, mais la plupart d'entre eux sont plus complexes que ce que j'essaie de comprendre. Voici un exemple de la façon dont j'interprète les cotes: si les chances qu'un événement se produise soient de 3 à 1, alors l'événement se produira 3 fois pour chaque 1 fois où il ne se produit pas. Je ne sais pas si cette interprétation serait correcte. Ainsi, tout conseil et plus d'exemples sur l'interprétation des cotes seraient grandement appréciés.

Sur un autre fil, il y a une réponse beaucoup plus large de @gung qui traite également de problèmes techniques connexes tels que le rapport de cotes, mais je vais m'en tenir au sujet à la main: comment interpréter les cotes, et en particulier la formulation " à b ". En tant que question pour débutant, il convient de réfléchir à la façon dont les "cotes" sont exprimées dans le langage courant (en particulier dans le langage des paris) ainsi que ce que les cotes signifient pour un statisticien, car les écarts entre les deux sont problématiques pour les apprenants.$a$$b$

Pour les cotes exprimées par un statisticien , votre affirmation est correcte. Supposons qu'un sac contient quatre jetons, dont trois sont - marine et un est marron , et un jeton est sélectionné au hasard. La probabilité que le jeton sélectionné soit aigue-marine est de 3 sur 4, soit $\color{aquamarine}{\text{aquamarine}}$$\color{brown}{\text{brown}}$ , lisez souvent «3 en 4». Avec des résultats tout aussi probables, lacotepour l'aigue-marine serait calculée comme le nombre de résultats favorables (3) divisé par le nombre de résultats défavorables (1), qui est de$\frac{3}{4}$, souvent lu commetrois pour unou simplement comme le nombre "trois". Plus généralement, vous pouvez prendre la fraction des "résultats favorables par rapport aux résultats défavorables" et annuler (diviser) le numérateur et le dénominateur par le nombre total de résultats, pour obtenir "la probabilité d'un résultat favorable par rapport à la probabilité d'un résultat défavorable", d'où une petite algèbre donne:$\frac{3}{1} = 3$$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}$

$$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} \implies p = \frac{\text{Odds}}{1 + \text{Odds}}$$

Les cotes exprimées par un bookmaker sont généralement citées comme "cotes contre" ou "cotes sur", et la manière dont elles sont écrites semble être une cause courante de confusion. En soi-disant chances britanniques , cote fractionnaires ou des cotes traditionnelles , les chances pour Aquamarine seraient écrits « sur 3/1 » ou « 3-1 », lu comme de . * Pour un joueur, le fait ce sont "chance" indique qu'une mise de 3 £ sur l'aigue-marine rapporterait 1 € de profit en cas de succès (ils reçoivent en réalité 4 £, dont 3 £ est simplement le retour de la mise d'origine) alors qu'un pari échoué entraîne la perte de la £ 3 mise. Nous pouvons voir que ce sont des " cotes équitables "$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}\text{ on}$"parce que le joueur a trois chances de gagner 1 £ et une chance de perdre 3 £, donc en moyenne il n'y a pas de gain ou de perte attendu. Jusqu'à présent, si peu de divergence:" les chances "sont simplement les" chances en faveur "préférées par des statisticiens.

Pour les événements avec une probabilité de 50%, tels que les têtes sur un tirage au sort - deux résultats tout aussi probables de succès ou d'échec - un statisticien dirait que les chances sont "un pour un" ou simplement1alors qu'un bookmaker équitable donnerait des cotes fractionnaires de 1/1 (lues comme "égaliser"). Donc pas de problème ici non plus; cependant, lorsque la probabilité tombe en dessous de 50%, nous voyons le bookmaker recommencer à citer le plus grand nombre dans le rapport avant le plus petit.$\frac{1}{1}$$1$

Considérons une course dans laquelle les quatre chevaux (disons F oinavon , G regalach , M on Mome et T ipperary Tim ) sont également susceptibles de gagner: alors en termes de probabilités , nous dirions que chacun avait un "1 sur 4" ou 0,25 chance de victoire. Quelle serait la bonne cote pour un pari sur, disons, Foinavon? Il n'y a qu'un seul résultat favorable (victoire pour F) contre trois résultats défavorables (victoire pour G, M ou T), donc un statisticien décrirait les chances comme "1 à 3", ou numériquement comme . Cependant, un bookmaker utilisant des cotes britanniques verrait les cotes comme "3 contre 1" et les écrirait simplement "3/1" ou 3-1 "(tous deux lus" trois contre un ";le" contre "est implicite et va nondit). Pour un joueur, « chance contre » signifie une participation de £ 1 retourneraient £ 3 profitcassuccès (ils recevront effectivement £ 4, mais £ 1 de c'est le retour de l'enjeu initial) alorscaséchecils perdre la mise de 1 £. Le joueur a trois chances de perdre 1 £ et une chance de gagner 3 £, donc là encore, il n'y a aucun profit / perte attendu et les chances sont justes. Malheureusement, les "cotes contre" (la forme habituelle de cotes) ) ne correspond pas aux «cotes en faveur» d'un statisticien.$\frac{1}{3}$

Chaque cheval de notre course hypothétique est devenu célèbre en remportant une fois le Grand National avec une cote de 100/1: comme il s'agissait de cotes élevées ("longues") contre , il s'agissait de " coups longs " considérés comme extrêmement improbables de gagner, et leurs partisans étaient généreusement récompensé par un bénéfice de 100 £ par livre mise. Si nous prétendons que les cotes des bookmakers étaient les cotes équitables (qui ignoreraient le dépassement du bookmaker, ou "vig" ), on pensait qu'il y avait 100 façons dont le cheval pouvait perdre pour chaque façon qu'il pouvait gagner, donc la probabilité implicite de succès était de . Au contraire, si unstatisticienprétend qu'un événement a une cote de "100 pour 1", c'est une affirmation selon laquelle l'événement esttrès probable(avec une probabilité de$\frac{1}{101}$ ).$\frac{100}{101}$

Si un profane de votre auditoire vient d'un pays où les cotes fractionnaires sont utilisées par les bookmakers, et régulièrement cité dans les médias (par exemple, "Jeremy Corbyn devrait battre 100-1 cotes pour devenir le leader du parti travailliste britannique", The Guardian , 11 septembre 2015; «11 millions contre un: veaux quadruplés nés en Australie-Méridionale», Sydney Morning Herald , 30 juillet 2015), puis en citant les cotes sous la forme « à b » est presque certain de semer la confusion.$a$$b$

J'ai vu des gens essayer cela, peut-être dans la conviction que "le grand public est plus familier avec les probabilités que les probabilités", mais les statisticiens avisés par rapport au bookmaker, et qui n'ont donc jamais parié dans leur vie, peuvent être pris par s'étonner que la conception populaire des cotes soit «à l'envers». Si cette confusion est jugée supérieure aux avantages de la formulation " to b " (en particulier parce qu'elle permet aux cotes claires d'exprimer un rapport favorable / défavorable), il serait peut-être préférable d'exprimer les "cotes statistiques" sous la forme d'un nombre unique, pour distinguer les à partir des cotes fractionnaires d'un bookmaker. Avant de présenter des cotes statistiques à un tel public, je voudrais au moins leur faire prendre conscience des points suivants:$a$$b$

• La cote d'un statisticien correspond à la cote d'un bookmaker. Si vous avez l'habitude de «contre», les cotes d'un statisticien peuvent sembler «à l'envers». Par exemple, "10 à 1" indique un événement très probable et "1000 à 1" un événement extrêmement probable!
• Un statisticien n'a pas besoin de mettre le nombre le plus élevé en premier, donc les cotes comme "2 à 3" peuvent être utilisées pour indiquer "2 chances de succès à 3 chances d'échec" (c'est-à-dire qu'après de nombreux essais, le rapport des succès aux échecs devrait être d'environ 2 : 3 et donc la probabilité de succès est de ).$\frac{2}{5}$
• Alors que les bookmakers préfèrent donner les cotes en tant que ratio de nombres entiers, ** les statisticiens simplifieront souvent leurs cotes sous la forme "quelque chose à un", même si cela introduit une décimale (par exemple, "5 à 2" devient "2,5 à 1") .
• Un statisticien peut laisser de côté «à un» et citer un seul chiffre (par exemple, les cotes de 3,5 signifient «3,5 à 1» ou «7 à 2», donc le rapport à long terme des succès aux échecs devrait être de 7: 2, dont la probabilité de succès peut facilement être considérée comme ).$\frac{7}{9}$
• Sur cette échelle, une cote de zéro représente une impossibilité; les cotes entre 0 et 1 indiquent une chance moins que égale; les chances de 1 montrent une chance de 50%; les cotes supérieures à 1 indiquent que l'événement est plus probable qu'improbable; un certain événement aurait des chances infinies.

Mathématiquement, nous avons

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \text{Odds on}_\text{British}; \quad \text{Odds}_\text{statistician} = \frac{1}{\text{Odds against}_\text{British}}$$

$1.33$$2.00$$4.00$$\text{Odds}_\text{European} = \frac{1}{p}$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \frac{p}{1-p} = \frac{1}{p^{-1}-1} = \frac{1}{\text{Odds}_\text{European}-1}$$

$\text{Odds}_\text{European} = \text{Odds against}_\text{British} + 1$

$1.50$$6.00$$\frac{1}{6}$

$1.00$$2.00$$\infty$

$\$100$$\$300$$\$100$$\$100$$\$300$$\$100$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \begin{cases} \frac{|\text{Moneyline}|}{100} & \text{if Moneyline} < 0 \\[5pt] \frac{100}{\text{Moneyline}} &\text{if Moneyline} > 0 \end{cases}$$

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J'apprécie qu'une grande partie de cette réponse concerne les paris et les gains plutôt que les statistiques, mais j'ai trouvé que l'utilisation quotidienne des "cotes" diffère si nettement de la définition technique du statisticien, qu'une comparaison approfondie pourrait résoudre une certaine confusion (les deux non - joueurs techniques et statisticiens non-joueurs). Il existe, bien sûr, des liens historiques et philosophiques profonds entre les paris et les statistiques. Le problème des points concernait la répartition équitable du prix dans un jeu de hasard interrompu et avait suscité des discussions depuis l'époque médiévale. Quand Antoine Gombaud, chevalier de Méré posa une version du problème en 1654, la correspondance ultérieure de Blaise Pascal et Pierre de Fermatsur la question a jeté les bases de la théorie des probabilités. Plus récemment, Frank Ramsey (dans les années 1920) et Bruno de Finetti (dans les années 1930) ont examiné la cohérence des paris (liés au phénomène de jeu d'un livre néerlandais ) comme justification de la probabilité bayésienne: si les probabilités subjectives d'un agent ou les degrés de la croyance n'obéit pas aux axiomes de probabilité , alors ils sont incohérents et un livre néerlandais peut être fait contre l'agent, les exposant à une certaine perte. L'Encyclopédie de Philosophie de Stanford a un article sur "l'argument du livre néerlandais" .

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($*$) J'ai délibérément simplifié ici à des fins pédagogiques. En fait les bookmakers ne sont pas cohérents sur ce point: ces cotes peuvent très bien s'écrire "1/3" (signifiant "un contre trois contre"), même si cela peut tout de même être lu à haute voix comme "trois contre un"! Cependant, alors qu'un bookmaker pourrait écrire le plus petit nombre en premier dans une cote contre un pari, il n'encadrera jamais une cote sur un pari de cette manière: "1/3 sur" serait théoriquement le même que "3/1 [contre]", mais dans la pratique, il serait toujours cité sous cette dernière forme.

($**$En passant, les bookmakers n'annulent pas toujours ces nombres entiers à leurs termes les plus bas: "6/4" est souvent annoncé (" ear'ole "), donc peut-être que les bookmakers pensent qu'un profit de 6 £ sur une mise de 4 £ est plus psychologiquement séduisant que la perspective d'un bénéfice de 3 £ sur une participation de 2 £. J'ai entendu dire, bien que je ne sache pas, que "100/30" survit parce que "10 à 3" pourrait être confondu avec le temps d'une course. Les cotes de Hong Kong sont des cotes fractionnelles (contre) annulées jusqu'à un seul chiffre, donc "5/2 contre" devient 2,5; le profit d'un pari gagnant (hors retour de la mise) est alors la cote de Hong Kong multipliée par la mise. Les cotes de Hong Kong inférieures à un indiquent une probabilité supérieure à 50%; ils sont l'inverse des cotes statistiques.