Quelle est l'autocorrélation pour une marche aléatoire?

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On dirait que c'est vraiment élevé, mais c'est contre-intuitif pour moi. Quelqu'un peut-il expliquer? Je suis très confus par cette question et apprécierais une explication détaillée et perspicace. Merci beaucoup d'avance!

Le baron
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Réponses:

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(J'ai écrit cela en réponse à un autre post, qui était marqué comme un double de celui-ci pendant que je le composais; je me suis dit que je le posterais ici plutôt que de le jeter. On dirait qu'il dit des choses assez similaires à whuber's mais c'est juste assez différent pour que quelqu'un puisse en retirer quelque chose.)

Une marche aléatoire est de la formeyt=je=1tϵje

Notez queyt=yt-1+ϵt

D'où .Cov(yt,yt-1)=Cov(yt-1+ϵt,yt-1)=Var(yt-1)

Notez également queσt2=Var(yt)=tσϵ2

Par conséquent .corr(yt,yt-1)=σt-12σt-1σt=σt-1σt=t-1t=1-1t1-12t

C'est-à-dire que vous devriez voir une corrélation de près de 1 car dès que commence à devenir grand, et sont presque exactement la même chose - la différence relative entre eux a tendance à être assez petite.tytyt-1

Vous pouvez le voir plus facilement en traçant vs .ytyt-1

entrez la description de l'image ici

Nous pouvons maintenant le voir de manière quelque peu intuitive - imaginez que a dérivé jusqu'à (comme nous le voyons dans ma simulation d'une marche aléatoire avec un terme de bruit normal standard). Alors va être assez proche de ; il peut être ou mais il est presque certain qu'il se situe à quelques unités de . Donc, alors que la série dérive de haut en bas, l'intrigue de vs va presque toujours rester dans une plage assez étroite de la ligne ... mais à mesure que grandit, les points couvriront plus et de plus grands tronçons le long deyt-1-20yt-20-22-18,5-20ytyt-1y=Xty=Xligne (la propagation le long de la ligne croît avec , mais la propagation verticale reste à peu près constante); la corrélation doit approcher 1.t

Glen_b -Reinstate Monica
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Dans le contexte de votre question précédente , une «marche aléatoire» est une réalisation d'une marche aléatoire binomiale. L'autocorrélation est la corrélation entre le vecteur ( x 0 , x 1 , , x n - 1 ) et le vecteur des éléments suivants ( x 1 , x 2 , , x n )(X0,X1,X2,,Xn)(X0,X1,,Xn-1)(X1,X2,,Xn).

Xje+1XjeXjeX0n(Xje,Xje+1)y=X±1y=X±11(n/2)2=n/4R2

R21-1n/4=1-4n.

n=1000R21-4/n

Figure


Voici le Rcode qui a produit les images.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))
whuber
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