Interprétation de la loi totale de covariance

soit des variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité et que la covariance de et soit finie, alors la loi de la formule de décomposition de la covariance totale / covariance indique: Quelle est l'interprétation de et ?$X,Y,Z$$X$$Y$

$$\begin{align} \text{Cov}(X,Y)=\underbrace{\mathbb{E}\big[\text{Cov}(X,Y\lvert Z)\big]}_{\text{(i)}}+\underbrace{\text{Cov}\big[\mathbb{E}(X\lvert Z),\mathbb{E}(Y\lvert Z)\big]}_{\text{(ii)}} \end{align}$$ $\text{(i)}$$\text{(ii)}$

Mes réflexions: dans (ii) les deux attentes conditionnelles peuvent être vues comme des variables aléatoires elles-mêmes, je sais aussi qu'il s'agit d'une généralisation de la formule de décomposition de la variance totale / variance qui peut être montrée en fixant , où l'interprétation est alors celle d'une variation de expliquée par et inexpliquée par . Mais quelle est l'interprétation correcte dans la formule de covariance ci-dessus pour (i) et (ii)? Wikipédia propose une brève description qui n'est pas très satisfaisante.$X=Y$$Y$$Z$$Z$

Le premier terme (i): $E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$

Pensez en fonction de . Lorsque vous examinez différentes valeurs de , vous obtenez en conséquence une valeur pour . L'attente est simplement la moyenne de ces différentes covariances par rapport à .$\operatorname{cov}(X,Y)$$Z$$Z$$\operatorname{cov}(X,Y)$$Z$

Le deuxième terme (ii): $\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

Pensez et en fonction de . En examinant différentes valeurs de , vous obtiendrez en conséquence une valeur de et une valeur de réalisées simultanément. Par conséquent, pour chaque valeur de , vous obtiendrez une coordonnée . Ce terme est simplement la covariance de tous ces points de coordonnées.$E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$Z$$E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$(X, Y)$

Une autre interprétation possible dans un cadre hiérarchique est une simple décomposition de la covariance totale en deux termes:$\operatorname{cov}(X,Y)$

1. le groupe intra ( ) et$E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$
2. entre le groupe$\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

covariances. Le premier terme représente dans cet exemple la moyenne des covariances de et évalués pour chaque groupe , tandis que le second terme est la covariance du groupe de moyennes de et .$X$$Y$$X$$Y$