La valeur moyenne d'un dé sélectionné à partir d'une série infinie de rouleaux

Si je lance une paire de dés un nombre infini de fois et que je sélectionne toujours la valeur la plus élevée des deux, la moyenne attendue des valeurs les plus élevées dépassera-t-elle 3,5?

Il semblerait que ce soit le cas, car si je jette un million de dés et sélectionne la valeur la plus élevée à chaque fois, les chances sont écrasantes que six soient disponibles dans chaque jet. Ainsi, la moyenne attendue devrait être quelque chose comme 5,999999999999 ...

Cependant, je n'arrive pas à comprendre quelle serait la valeur attendue avec mon exemple en utilisant seulement 2 dés. Quelqu'un peut-il m'aider à arriver à un numéro? Serait-il à peine supérieur à 3,5? Est-ce même quelque chose qui peut être calculé?

L'expérience peut également être simulée. Cette approche est utile lorsque l'énumération est difficile (comme lancer 3 dés).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

Il n'est pas nécessaire d'utiliser la simulation pour cela, le cas général est assez facile à analyser. Soit le nombre de dés et X le jet maximum effectué lors du lancer des n dés.$n$$X$$n$

Il s'ensuit que et en général P(X≤k)=(

$$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$$ $$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$$ $k$ $$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$$

$n = 2$

Je suggère de travailler à travers le cas trivial pour voir la réponse.

$$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

La valeur attendue de la somme est de 7. C'est le cas car les rouleaux sont des dessins indépendants identiques, ils peuvent donc être additionnés. L'espérance de lancer une matrice cubique équitable est de 3,5.

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

$$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$$

$n$$n$$n$

En supposant que chacune des 36 combinaisons a une probabilité égale, il suffit d'ajouter les valeurs de chacune des 36 combinaisons et de diviser par 36 pour obtenir la moyenne:

1. 1 possibilité: 11
2. 3 possibilités: 12, 21, 22
3. 5 possibilités: 13, 23, 31, 32, 33
4. 7 possibilités: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
5. 9 possibilités: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
6. 11 possibilités: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4,47222 ..

Troll Dice Roller est l' outil pour trouver les probabilités de dés. Il a un document expliquant la mise en œuvre, mais c'est assez académique.

max(2d6) les rendements

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642