Matrices aléatoires avec contraintes sur la longueur des lignes et des colonnes

J'ai besoin de générer des matrices non carrées aléatoires avec des lignes et des colonnes , des éléments distribués au hasard avec une moyenne = 0, et contraints de telle sorte que la longueur (norme L2) de chaque ligne soit et que la longueur de chaque colonne soit . De manière équivalente, la somme des valeurs carrées est 1 pour chaque ligne et pour chaque colonne.$R$$C$$1$$\sqrt{\frac{R}{C}}$$\frac{R}{C}$

Jusqu'à présent, j'ai trouvé un moyen d'y parvenir: il suffit d'initialiser les éléments de la matrice de manière aléatoire (par exemple à partir d'une distribution uniforme, normale ou laplace avec une moyenne nulle et une variance arbitraire), puis de normaliser alternativement les lignes et les colonnes à , se terminant par la normalisation des lignes. Cela semble converger assez rapidement vers le résultat souhaité (par exemple pour et , la variance de la longueur de colonne est généralement ~ après itérations), mais je ne suis pas sûr de pouvoir compter sur ce taux de convergence rapide en général (pour diverses dimensions de matrice et distributions initiales d'éléments).${\rm length} = 1$$R=40$$C=80$$~0.00001$$2$

Ma question est la suivante: existe-t-il un moyen d'obtenir le résultat souhaité ( , ) directement sans itérer entre normalisation de ligne / colonne? Par exemple, quelque chose comme l'algorithme de normalisation d'un vecteur aléatoire (initialiser les éléments au hasard, mesurer la somme des valeurs carrées, puis mettre à l'échelle chaque élément par un scalaire commun). Sinon, existe-t-il une caractérisation simple du taux de convergence (par exemple, nombre d'itérations jusqu'à erreur ) de la méthode itérative décrite ci-dessus?${\rm row \ lengths} = 1$${\rm column \ lengths} = \sqrt{\frac{R}{C}}$$< \epsilon$

Comme l'a dit @cardinal dans un commentaire:

En fait, après un peu de réflexion, je pense que votre algorithme est exactement l'algorithme Sinkhorn-Knopp avec une modification très mineure. Soit votre matrice d'origine et une matrice de même taille telle que . Ensuite, votre algorithme équivaut à appliquer Sinkhorn-Knopp à , où, à l'étape finale, vous récupérez la forme souhaitée en prenant . Sinkhorn-Knopp est garanti de converger sauf dans des circonstances assez pathologiques. La lecture devrait être très utile.Y Y i j = X 2 i j Y X i j = s g n ( X i j ) $X$$Y$$Y_{ij}=X^2_{ij}$$Y$$\hat{X}_{ij}=sgn(X_{ij})\sqrt{Y_{ij}}$

... il semble que l'algorithme itératif que j'ai suggéré dans la question d'origine soit très similaire à l'algorithme Sinkhorn-Knopp. Fait intéressant, il semble également très similaire à l' ajustement proportionnel itératif (IPF), qui, comme décrit sur la page wikipedia IPF, est lié à la méthode de Newton et à la maximisation des attentes (tous ont la même limite).

Ces méthodes itératives sont souvent appliquées à des problèmes qui n'ont pas de solution sous forme fermée, donc je suppose que la réponse à la question est négative: il n'y a aucun moyen d'obtenir la solution souhaitée sans itération de ligne / colonne.