Lors du re-paramétrage d'une fonction de vraisemblance, suffit-il de simplement brancher la variable transformée au lieu d'un changement de formule de variables?

Supposons que j'essaye de re-paramétrer une fonction de vraisemblance qui est distribuée de façon exponentielle. Si ma fonction de vraisemblance d'origine est:

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

et je voudrais le re-paramétrer en utilisant , puisqueθn'est pas une variable aléatoire, mais un paramètre, suffit-il juste de le brancher?$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

Ce que je veux dire explicitement, c'est:

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

Si c'est le cas, je ne sais pas quelle est la théorie derrière cela. Ma compréhension est que la fonction de vraisemblance est une fonction du paramètre, alors pourquoi je n'ai pas besoin d'utiliser une formule de changement de variables me confond. Toute aide serait vraiment appréciée, merci!

Vous n'avez pas besoin d'un jacobien dans votre transformée car c'est une distribution de probabilité sur , pas sur θ . Il doit s'intégrer à un dans y , que vous utilisiez θ ou ϕ : ∫ p ( y | θ ) d y = ∫ p ( y | ϕ ) d y = 1 Ce n'est que lorsque vous incluez une mesure (bayésienne) sur θ que le jacobien apparaît. Autrement dit, si p ( θ ) est l'a priori sur $y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$, alors la densité postérieure de est p ( θ | y ) ∝ p ( θ ) p ( y | θ ) et la densité postérieure de ϕ est p ( ϕ | y ) ∝ p ( y | ϕ ) p ( ϕ ) = p ( y | θ ( ϕ ) ) p ( θ ( ϕ $\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$qui implique le jacobien| ∂ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ .$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$