Quelle est la distribution pour le maximum (minimum) de deux variables aléatoires normales indépendantes?

$X$$Y$$a$$P(\max(X,Y)\leq x)$$\max(X,Y)$$X$$Y$

Le maximum de deux normales non identiques peut être exprimé par une distribution asymétrique-normale d'Azzalini. Voir, par exemple, un document de travail / présentation de 2007 de Balakrishnan

Un regard asymétrique sur les statistiques des ordres bivariés et multivariés
Prof. N. Balakrishnan
Document de travail / présentation (2007)

Un article récent de ( Nadarajah et Kotz - visible ici ) donne quelques propriétés de max :$(X,Y)$

Nadarajah, S. et Kotz, S. (2008), «Exact Distribution of the Max / Min of Two Gaussian Random Variables», IEEE TRANSACTIONS ON TRES LARGE SCALE INTEGRATION SYSTEMS (VLSI) SYSTEMS, VOL. 16, NON. 2 FÉVRIER 2008

Pour des travaux antérieurs, voir:

AP Basu et JK Ghosh, «Identifiability of the multinormal and other distributions under concurrently risk model», J. Multivariate Anal., Vol. 8, p. 413–429, 1978

HN Nagaraja et NR Mohan, «Sur l'indépendance de la distribution de la vie du système et la cause de la défaillance», Scandinavian Actuarial J., pp. 188–198, 1982.

YL Tong, la distribution normale multivariée. New York: Springer-Verlag, 1990.

On peut également utiliser un système d'algèbre informatique pour automatiser le calcul. Par exemple, étant donné avec pdf , et avec pdf :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... le pdf de est:$Z = max(X,Y)$

où j'utilise la Maximumfonction du package mathStatica de Mathematica , et Erfdénote la fonction d'erreur.

Je suis surpris que dans les réponses précédentes la propriété la plus intéressante ne soit pas mentionnée: la distribution de probabilité cumulative pour le maximum est le produit des distributions de probabilité cumulative respectives.