Quelle est la variance de cet estimateur

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Je veux estimer la moyenne d'une fonction f, c'est-à-dire où et sont des variables aléatoires indépendantes. J'ai des échantillons de f mais pas iid: il y a des échantillons iid pour et pour chaque Y i il y a n i échantillons de X : X i , 1 , X i , 2 , , X i , n jeX Y Y 1 , Y 2 , Y n

EX,Oui[F(X,Oui)]
XOuiY1,Y2,YnYiniXXi,1,Xi,2,,Xi,ni

Donc au total j'ai des échantillons f(X1,1,Y1)f(X1,n1,Y1)f(Xi,j,Yi)f(Xn,nn,Yn)

Pour estimer la moyenne, je calcule Évidemment,EX,Y[μ]=EX,Y[f(X,Y)],doncμest un estimateur sans biais. Je me demande maintenant ce qu'estVar(μ), c'est-à-dire la variance de l'estimateur.

μ=je=1n1/nj=1njeF(Xje,j,Ouije)nje
EX,Oui[μ]=EX,Oui[F(X,Oui)]
μVuner(μ)

Edit 2: Est-ce la variance correcte?

Var(μ)=VarY(μi)n+i=1nVarX(f(X,Yi)))nin2
ni=ni=1

Modifier (ignorer cela):

Je pense donc que j'ai fait quelques progrès: Définissons d'abord qui est un estimateur non biaisé deEX[f(X,Yi)].μi=j=1nif(Xi,j,Yi)niEX[f(X,Yi)]

En utilisant la formule standard de variance, nous pouvons écrire:

Var(μ)=1/n2l=1nk=1nCov(μl,μk)
1/n2(i=1nVar(μl)+1/n2l=1nk=l+1n2Cov(μl,μk))
Xij
1/n2(i=1n1/niVar(f(Xi,j,Yi))+1/n2l=1nk=l+1n2Cov(μl,μk))
Cov(μl,μk)=Cov(j=1nlf(Xj,l,Yl)nl,j=1nkf(Xj,k,Yk)nk)=1(nknl)Cov(j=1nlf(Xj,l,Yl),j=1nkf(Xj,k,Yk))=1(nknl)j=1nlj=1nkCov(f(X,Yl),f(X,Yk))=nknl(nknl)Cov(f(Xi,l,Yl),f(Xi,k,Yk))=Cov(f(X,Yl),F(X,Ouik))
1/n2(je=1n1/njeVuner(F(X,Ouije))+1/n2l=1nk=l+1n2Cov(F(X,Ouil),F(X,Ouik)))
  1. Le calcul ci-dessus est-il correct?

  2. Cov(F(X,Ouil),F(X,Ouik)))

  3. La variance converge-t-elle vers 0 si je laisse n aller à l'infini?

Benedikt Bünz
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Réponses:

2

kk=X12,Oui1X22,Oui2XOui

k=Cov(F(Xjk,Ouik),F(Xjk,Ouik))=Vuner(F(Xjk,Ouik))Cov(μk,μk)=1nkVuner(F(Xjk,Ouik))

Q3: Oui: après ces modifications, vous n'aurez qu'un nombre linéaire de termes dans la toute dernière somme, donc le terme quadratique du dénominateur gagnera.

eric_kernfeld
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La réponse à "La variance converge-t-elle vers 0 si je laisse n aller à l'infini?" est "Oui".
eric_kernfeld