Je veux estimer la moyenne d'une fonction f, c'est-à-dire
où et sont des variables aléatoires indépendantes. J'ai des échantillons de f mais pas iid: il y a des échantillons iid pour et pour chaque Y i il y a n i échantillons de X : X i , 1 , X i , 2 , … , X i , n jeX Y Y 1 , Y 2 , … Y n
EX, Y[ f( X, Y) ]
XOuiY1,Y2,…YnYiniXXi,1,Xi,2,…,Xi,ni
Donc au total j'ai des échantillons f(X1,1,Y1)…f(X1,n1,Y1)…f(Xi,j,Yi)…f(Xn,nn,Yn)
Pour estimer la moyenne, je calcule
Évidemment,EX,Y[μ]=EX,Y[f(X,Y)],doncμest un estimateur sans biais. Je me demande maintenant ce qu'estVar(μ), c'est-à-dire la variance de l'estimateur.
μ=∑i=1n1 /n∗∑j=1njef(Xje,j,Yi)nje
EX, Y[ μ ] = EX, Y[ f( X, Y) ]
μVa r ( μ )
Edit 2: Est-ce la variance correcte?
Var(μ)=VarY(μi)n+∑i=1nVarX(f(X,Yi)))ni∗n2
ni=∞ni=1
Modifier (ignorer cela):
Je pense donc que j'ai fait quelques progrès: Définissons d'abord qui est un estimateur non biaisé deEX[f(X,Yi)].μi=∑nij=1f(Xi,j,Yi)niEX[f(X,Yi)]
En utilisant la formule standard de variance, nous pouvons écrire:
Var(μ)=1/n2∑l=1n∑k=1nCov(μl,μk)
1/n2(∑i=1nVar(μl)+1/n2∑l=1n∑k=l+1n2∗Cov(μl,μk))
Xij1/n2(∑i=1n1/niVar(f(Xi,j,Yi))+1/n2∑l=1n∑k=l+1n2∗Cov(μl,μk))
Cov(μl,μk)=Cov(∑j=1nlf(Xj,l,Yl)nl,∑j=1nkf(Xj,k,Yk)nk)=1(nk∗nl)∗Cov(∑j=1nlf(Xj,l,Yl),∑j=1nkf(Xj,k,Yk))=1(nk∗nl)∗∑j=1nl∑j=1nkCov(f(X,Yl),f(X,Yk))=nk∗nl(nk∗nl)Cov(f(Xi,l,Yl),f(Xi,k,Yk))=Cov(f(X,Yl),f(X,Yk))
1 / n2( ∑i = 1n1 / njeVa r ( f(X, Yje) ) + 1 / n2∑l = 1n∑k = l + 1n2 ∗ Co v ( f( X, Yl) , f( X, Yk) ) )
Le calcul ci-dessus est-il correct?
Co v ( f( X, Yl) , f( X, Yk) ) )
La variance converge-t-elle vers 0 si je laisse n aller à l'infini?