Comme indiqué dans le titre, disons que si je pioche au hasard 4 cartes et que vous en tirez 6 dans le même jeu, quelle est la probabilité que ma carte la plus élevée bat votre carte la plus élevée?
Comment cela changera-t-il si nous tirons de différents decks?
Merci!
probability
maximum
Wudanao
la source
la source
Réponses:
Cette question simple a une réponse compliquée. Les complications sont dues à deux facteurs:
Les cartes sont tirées sans remplacement. (Chaque tirage modifie donc le contenu du jeu qui est disponible pour les tirages suivants.)
Un paquet a généralement plusieurs cartes de chaque valeur, ce qui crée une égalité pour la carte la plus élevée possible.
Étant donné que les complications sont inévitables, examinons une généralisation assez large de ce problème, puis examinons les cas spéciaux. Dans la généralisation, un "jeu" se compose d'un nombre fini de cartes. Les cartes ont "valeurs" distinctes qui peuvent être classées du plus bas au plus élevé. Soit les valeurs classées (avec la plus basse et la plus élevée). Un joueur pioche carte du jeu et un deuxième joueur pioche carte . Quelle est la chance que la carte la mieux classée dans la main du premier joueur soit strictementn i ≥ 1 i i = 1 i = m a ≥ 0 b ≥ 1 Wm ni≥1 i i=1 i=m a≥0 b≥1 plus grande que la carte la mieux classée dans la main du deuxième joueur? Appelons cet événement : une «victoire» pour le premier joueur.W
Une façon de comprendre cela commence par noter que la procédure équivaut à piocher des cartes a du jeu, en prenant la première de celles-ci pour être les cartes du premier joueur, et le restant pour être les cartes du deuxième joueur. Parmi ces cartes soit la valeur la plus élevée et soit le nombre de cartes de cette valeur. La première joueuse ne gagne que lorsqu'elle détient les de ces cartes. Le nombre de façons dont ces cartes particulières se trouvent parmi carte est , tandis que le nombre de façons de positionner ces cartes entre tous qui ont été tirées esta b j k ≥ 1 k a ( aa+b a b j k≥1 k a (ak) a + b ( a + bk a+b (a+bk) .
Maintenant, la chance que soit la valeur la plus élevée et qu'il y ait telles cartes est la chance de sélectionner parmi cartes de valeur et de sélectionner le reste parmi les valeurs. Parce qu'il y a tirages équiprobables des cartes a , la réponse estk k n j j a + b - k n 1 + n 2 + ⋯ + n j - 1 = N j - 1 ( N mj k k nj j a+b−k n1+n2+⋯+nj−1=Nj−1 a+b(Nma+b) a+b
(Dans cette expression, et tout coefficient binomial dont la valeur supérieure est inférieure à sa valeur inférieure, ou dont la valeur inférieure est négative, est considéré comme nul.) C'est un calcul relativement efficace, prenant un temps proportionnel au nombre de cartes. dans le pont. Parce qu'il implique exclusivement des coefficients binomiaux, il se prête à des approximations asymptotiques pour de grandes valeurs de et .N0=0 a b
Dans certains cas, vous souhaiterez peut-être modifier la définition d'un «gagnant». Cela se fait facilement: en échangeant les valeurs de et , la même formule calcule les chances que le deuxième joueur gagne carrément. La différence entre et la somme de ces deux chances est la chance d'une égalité. Vous pouvez attribuer cette chance d'égalité aux joueurs dans la proportion que vous souhaitez.a b 1
Dans de nombreux jeux de cartes classiques, et pour . Considérons donc tout deck dans lequel tous les ont la même valeur, disons . Dans ce cas, et la formule précédente se simplifie légèrement pourm=13 ni=4 i=1,2,…,m ni n Nj−1=(j−1)n
Par exemple, avec et dans un jeu de 52 cartes commun de 13 rangs, et , . Une simulation de 100 000 jeux de ce jeu a produit une estimation de , ce qui correspond à près de trois chiffres significatifs et n'est pas très différent de ce que la formule indique.m=13 n=4 a=4 b=6 Pr(W)=1229751838720339≈0.3176 0.3159
Ci - dessousPr(W)
R
code est facilement modifié pour estimer pour chaque plate - forme: il suffit de changement , et . Il a été défini pour exécuter seulement 10 000 jeux, ce qui devrait prendre moins d'une seconde à exécuter et est bon pour deux chiffres significatifs de l'estimation.a
b
deck
La sortie dans ce cas est
la source