Valeur attendue de x dans une distribution normale, étant donné qu'elle est inférieure à une certaine valeur

Je me demande simplement s'il est possible de trouver la valeur attendue de x si elle est normalement distribuée, étant donné qu'elle est inférieure à une certaine valeur (par exemple, inférieure à la valeur moyenne).

Une variable normalement distribuée avec μ moyenne et variance$X$$\mu$ a la même distribution que σ Z + μ où Z est une variable normale standard. Tout ce que vous devez savoir sur Z, c'est que$\sigma^2$$\sigma Z + \mu$$Z$$Z$

• sa fonction de distribution cumulée est appelée $\Phi$ ,
• il a une fonction de densité de probabilité , et que$\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
• .$\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$

Les deux premières puces ne sont que de la notation et des définitions: la troisième est la seule propriété spéciale des distributions normales dont nous aurons besoin.

Que la « certaine valeur » soit . Anticipant le passage de X à Z , définissez$T$$X$$Z$

$$t = (T-\mu)/\sigma,$$

pour que

$$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$$

Ensuite, en commençant par la définition de l'espérance conditionnelle, nous pouvons exploiter sa linéarité pour obtenir

$$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$$

Le théorème fondamental du calcul affirme que toute intégrale d'un dérivé est trouvée en évaluant la fonction aux points de terminaison: . Cela s'applique aux deux intégrales. Puisque Φ et ϕ doivent disparaître à - ∞ , nous obtenons$\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$$\Phi$$\phi$$-\infty$

$$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$$

Il s'agit de la moyenne d'origine moins un terme de correction proportionnel au rapport Invers Mills .

Comme on peut s'y attendre, le rapport de Mills inverse pour doit être positif et dépasser - t (dont le graphique est représenté par une ligne rouge en pointillés). Elle doit diminuer à 0 à mesure que t grandit, car alors la troncature à Z = t (ou X = T ) ne change presque rien. Comme t devient très négatif, le rapport de Mills inverse doit approcher - t car les queues de la distribution normale diminuent si rapidement que presque toute la probabilité dans la queue gauche est concentrée près de son côté droit (en t ).$t$$-t$$0$$t$$Z=t$$X=T$$t$$-t$$t$

Enfin, lorsque est à la moyenne, t = 0 où le rapport de Mills inverse est égal à $T = \mu$$t=0$. Cela implique que la valeur attendue deX, tronquée à sa moyenne (qui est le négatif d'unedistribution semi-normale), est-$\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$$X$ fois son écart type en dessous de la moyenne d'origine.$-\sqrt{2/\pi}$

En général, laissez avoir la fonction de distribution F ( X ) .$X$$F(X)$

On a, pour , P ( X ≤ x | c 1 ≤ X ≤ c $x\in[c_1,c_2]$ Vous pouvez obtenir des cas particuliers en prenant, par exemplec1=-∞, ce qui donneF(c1)=

$$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$$ $c_1=-\infty$$F(c_1)=0$ .

En utilisant des cdfs conditionnels, vous pouvez obtenir des densités conditionnelles (par exemple, pour X ∼ N ( 0 , 1 $f(x|X<0)=2\phi(x)$$X\sim N(0,1)$ ), qui peuvent être utilisées pour les attentes conditionnelles.

$$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$$