Comment calculer l'intervalle de confiance du rapport de deux moyennes normales

Je veux dériver les limites de l' intervalle de confiance de pour le rapport de deux moyennes. Supposons que X 1 ∼ N ( θ 1 , σ 2 ) et X 2 ∼ N ( θ 2 , σ 2 ) étant indépendants, le rapport moyen Γ = θ 1 / θ 2 . J'ai essayé de résoudre: Pr ( - z ( α /$100(1-\alpha)\%$
$X_1 \sim N(\theta_1, \sigma^2)$$X_2 \sim N(\theta_2, \sigma^2)$$\Gamma = \theta_1/\theta_2$mais cette équation n'a pas pu être résolue dans de nombreux cas (pas de racines). Est-ce que je fais quelque chose de mal? Est-ce qu'il y a une meilleure approche? Merci

La méthode de Fieller fait ce que vous voulez - calculer un intervalle de confiance pour le quotient de deux moyennes, toutes deux supposées être échantillonnées à partir de distributions gaussiennes.

• La citation d'origine est: Fieller EC: La standardisation biologique de l'insuline. Supplément à JR Statist Soc 1940, 7: 1-64.

• L' article de Wikipedia fait un bon travail de résumé.

• J'ai créé une calculatrice en ligne qui fait le calcul.

• Voici une page résumant les mathématiques de la première édition de ma biostatistique intuitive

R a le package mratiosavec la fonction t.test.ratio.

Gemechis Dilba Djira, Mario Hasler, Daniel Gerhard et Frank Schaarschmidt (2011). mratios: Inférences pour les rapports de coefficients dans le modèle linéaire général. Version du package R 1.3.15. http://CRAN.R-project.org/package=mratios

Voir aussi http://www.r-project.org/user-2006/Slides/DilbaEtAl.pdf

De plus, si vous souhaitez calculer l'intervalle de confiance de Fieller sans utiliser mratios(généralement parce que vous ne voulez pas un ajustement lm simple mais par exemple un ajustement glmer ou glmer.nb), vous pouvez utiliser la FiellerRatioCIfonction suivante , avec modèle la sortie du modèle, nommez le nom du paramètre numérateur, bnommez le nom du paramètre dénomérateur. Vous pouvez également utiliser directement la fonction FiellerRatioCI_basic donnant, a, b et la matrice de covariance entre a et b.

Notez que l'alpha ici est 0,05 et "codé en dur" dans les 1,96 du code. Vous pouvez les remplacer par n'importe quel niveau d'étudiant que vous préférez.

FiellerRatioCI <- function (x, ...) { # generic Biomass Equilibrium Level
    UseMethod("FiellerRatioCI", x)
}
FiellerRatioCI_basic <- function(a,b,V,alpha=0.05){
    theta <- a/b
    v11 <- V[1,1]
    v12 <- V[1,2]
    v22 <- V[2,2]

    z <- qnorm(1-alpha/2)
    g <- z*v22/b^2
    C <- sqrt(v11 - 2*theta*v12 + theta^2 * v22 - g*(v11-v12^2/v22))
    minS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 - z/b * C)
    maxS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 + z/b * C)
    return(c(ratio=theta,min=minS,max=maxS))
}
FiellerRatioCI.glmerMod <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[aname]))
    b<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[bname]))
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}
FiellerRatioCI.glm <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a <- coef(model)[aname]
    b <- coef(model)[bname]
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}

Exemple (basé sur l'exemple de base standard glm):

 counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
 outcome <- gl(3,1,9)
 treatment <- gl(3,3)
 glm.D93 <- glm(counts ~ outcome + treatment, family = poisson())

 FiellerRatioCI(glm.D93,"outcome2","outcome3")

ratio.outcome2            min            max 
      1.550427      -2.226870      17.880574