Estimateurs impartiaux de l'asymétrie et du kurtosis

L'asymétrie et le kurtosis sont définis comme suit:

ζ_{3} = \frac{E [(X - μ)^{3}]}{E [(X - μ)^{2}]^{3 / 2}} = \frac{μ_{3}}{σ^{3}}

$\zeta_3 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{E[(X-\mu)^2]^{3/2}} = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ζ_{4} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{E [(X - μ)^{2}]^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

$\zeta_4 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{E[(X-\mu)^2]^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

Les formules suivantes sont utilisées pour calculer l'asymétrie et le kurtosis de l'échantillon:

z_{3} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{je = 1}^{n} [(X_{je} - \bar{X})^{3}]}{(\frac{1}{n} \sum_{je = 1}^{n} [(X_{je} - \bar{X})^{2}])^{3 / 2}}

$z_3 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^3]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^{3/2}}$

z_{4} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{je = 1}^{n} [(X_{je} - \bar{X})^{4}]}{(\frac{1}{n} \sum_{je = 1}^{n} [(X_{je} - \bar{X})^{2}])^{2}}

$z_4 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^4]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^2}$

Ma question est: ces estimateurs sont-ils non biaisés? Je ne sais pas si je dois utiliser l'écart type non biaisé ou biaisé dans le dénominateur.

En général, si nous avons une fonction dont les variables sont des estimateurs sans biais, alors pouvons-nous dire que est un estimateur sans biais également? $f$ $f$

skewness unbiased-estimator kurtosis SiXUlm
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Réponses:

Voir pages 8-9 de http://modelingwithdata.org/pdfs/moments.pdf . Consultez également http://www.amstat.org/publications/jse/v19n2/doane.pdf pour quelques perspectives utiles pour vous permettre de réfléchir dans le bon état d'esprit.

Notez que ce que vous appelez probablement l'écart-type non biaisé est un estimateur biaisé de l'écart - $\sigma$ type Pourquoi l' écart - type de l' échantillon est un estimateur biaisé de ? , bien qu'avant de prendre la racine carrée, il s'agit d'un estimateur non biaisé de la variance.

Une fonction non linéaire d'un estimateur non biaisé ne sera pas nécessairement non biaisée ("presque sûrement" ne le sera pas). La direction du biais peut être déterminée par l'inégalité de Jensen https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality si la fonction est convexe ou concave.

Mark L. Stone
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Merci! Il semble que les formules des «bons» estimateurs soient très longues. Si j'en utilise d'autres plus simples, cela pose-t-il vraiment de sérieux problèmes? Btw, je me suis toujours trompé que l'échantillon std est un estimateur UNBIASED de , cela répond également à ma deuxième question.

σ

$\sigma$

SiXUlm

Vous devez décider si vous voulez ou non la meilleure réponse possible. si vous voulez la meilleure réponse, payez le prix en complication si nécessaire.

Mark L. Stone

Le biais n'est pas nécessairement mauvais. Vous devez également tenir compte de la variance. La proximité de l'estimateur avec l'estimateur peut être mesurée en utilisant l'écart quadratique attendu de l'estimateur à l'estimateur, qui est égal à la variance de l'estimateur plus le biais au carré de l'estimateur. Dans de nombreux cas, il existe un "compromis de biais de variance" où l'augmentation du biais est plus que compensée par la réduction de la variance. Je parierais que cela est vrai pour les estimations de kurtosis et d'asymétrie. Quelqu'un veut publier des recherches à ce sujet?

Peter Westfall

y a-t-il un compromis dans ce cas?

Xiaoxiong Lin

@filippo modelingwithdata.org/about_the_book.html

Mark L. Stone