Statistiques de commande pour la distribution bêta

Laisser $x_1,\dots,x_n$ be iid puise dans $Beta\left(\frac{k}2,\frac{k-p-1}{2}\right)$. Comment les statistiques d'ordre minimum et maximum sont-elles distribuées, respectivement?

J'apprécierais grandement une référence si possible. En général, je ne suis pas familier avec la dérivation des statistiques de commande.

Edit: Étant donné que la distribution bêta peut être interprétée comme $k$-statistique pour la distribution uniforme, je suppose que le minimum ou le maximum de la distribution bêta est distribué selon une autre distribution bêta.

Edit_2: J'ai ajouté un paramètre légèrement plus précis qui me tient à cœur. En fin de compte, je recherche des limites pour le minimum et le maximum, donc quelle que soit la forme qui y mène, je me contenterai. Je suis aussi finalement intéressé par le cas asymptotique, mais c'est ma prochaine préoccupation, pour ainsi dire.

Laissez la variable aléatoire parent $X \sim Beta(a,b)$ avec pdf $f(x)$:

_{(source: tri.org.au )}

Puis, étant donné un échantillon de taille $n$, le pdf du $1^{st}$ la statistique de commande (échantillon minimum) est:

_{(source: tri.org.au )}

... et le pdf du $n^{th}$ la statistique d'ordre (échantillon maximum) est:

_{(source: tri.org.au )}

où:

• J'utilise la OrderStatfonction du paquet mathStatica pour Mathematica pour automatiser les nitty-gritties

• Beta[x,a,b] dénote la fonction Bêta incomplète $B_x(a,b) = \int _0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} d t$

• et le domaine de support est (0,1).