Quelle est la variance à long terme?

Comment définit-on la variance à long terme dans le domaine de l'analyse des séries chronologiques?

Je comprends qu'il est utilisé dans le cas où il y a une structure de corrélation dans les données. Notre processus stochastique ne serait donc pas une famille de variables aléatoires iid mais plutôt uniquement identiquement réparties?$X_1, X_2 \dots$

Pourrais-je avoir une référence standard comme introduction au concept et aux difficultés liées à son estimation?

Il s'agit d'une mesure de l'erreur type de la moyenne de l'échantillon en cas de dépendance série.

Si est une covariance stationnaire avec et (dans un réglage iid, cette quantité serait nulle!) que . Alors où la première égalité est définitionnelle , le second un peu plus délicat à établir et le troisième une conséquence de la stationnarité, ce qui implique que .$Y_t$$E(Y_t)=\mu$$Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$$\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

$$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$$ γj=γ - j$\gamma_j=\gamma_{-j}$

Le problème est donc bien le manque d'indépendance. Pour le voir plus clairement, écrivez la variance de la moyenne de l'échantillon comme

$$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$$

Un problème d'estimation de la variance à long terme est que nous n'observons bien sûr pas toutes les autocovariances avec des données finies. Le noyau (en économétrie, "Newey-West" ou estimateurs HAC) est utilisé à cet effet,

$$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$$ $k$ est un noyau ou une fonction de pondération, les sont des exemples d'autocovariances. , entre autres, doit être symétrique et avoir . est un paramètre de bande passante.$\hat\gamma_j$$k$$k(0)=1$$\ell_T$

Un noyau populaire est le noyau Bartlett bonnes références de manuels sont Hamilton, Time Series Analysis ou Fuller . Newey and West, Econometrica 1987 est un article de revue séminal (mais technique) .

$$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$$