Références: Queue du cdf inverse

Je suis presque sûr d'avoir déjà vu le résultat suivant dans les statistiques mais je ne me souviens pas où.

Si est une variable aléatoire positive et alors lorsque , où est le cdf de . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

Ceci est facile à voir géométriquement en utilisant l'égalité et en considérant une coupe horizontale à de l'aire sous la courbe de l'intégrande . $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

Connaissez-vous une référence pour ce résultat et s'il a un nom?

references quantiles cdf moments Stéphane Laurent
la source

Le «plus généralement» est une application simple de l'intégration par parties. Cela n'a à peine besoin d'une référence!

whuber

@whuber, je demande aussi une référence sur le premier résultat.

Stéphane Laurent

Vous l'avez peut-être vu, ou du moins quelque chose de très similaire, sur stats.stackexchange.com/questions/18438 . Ce résultat est dû à une substitution dans l'intégrale, qui est encore si basique qu'on ne s'attendrait pas à ce qu'elle ait été particulièrement notée dans la littérature ou donnée un nom spécial.

whuber

@whuber Je ne vois pas dans votre lien. De plus, le résultat que je mentionne est également vrai pour un discret (en prenant pour une séquence et en remplaçant par dans l'énoncé plus général). Le premier résultat est même vrai pour un général , je pense.

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

Stéphane Laurent

Je crois que cela pourrait être utilisé sans aucune référence à condition qu'il soit énoncé en termes plus classiques. En gros, c'est:

pour

avec

, conséquence directe de:

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

et de convergence dominée. Un peu de travail est nécessaire pour obtenir l'énoncé de l'inverse (gauche continu)

dans le cas général où

peut avoir des étapes.

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

Yves

Pour gérer le "petit travail" suggéré par Yves dans les commentaires, la géométrie suggère une preuve rigoureuse et tout à fait générale.

Si vous le souhaitez, vous pouvez remplacer toutes les références aux zones par des intégrales et les références à "arbitraire" par les arguments epsilon-delta habituels. La traduction est simple.

Pour configurer l'image, soit la fonction de survie $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

La figure représente une partie de . (Remarquez le saut dans le graphique: cette distribution particulière n'est pas continue.) Un grand seuil est affiché et une toute petite probabilité a été sélectionnée (de sorte que ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Nous sommes prêts à partir: la valeur qui nous intéresse, (celle que nous voulons montrer converge à zéro), est l'aire du rectangle blanc avec une hauteur et une base de à . Relions ce domaine à l'attente de , car la seule hypothèse dont nous disposons est que cette attente existe et est finie. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

La partie positive de l'attente est l'aire sous la courbe de survie (de à ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Parce que doit être fini (car sinon l'attente elle-même n'existerait pas et serait finie), nous pouvons choisir si grand que la zone sous entre et représente tout, ou presque, de . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Toutes les pièces sont maintenant en place: le graphique de , le seuil , la petite hauteur et le point d'extrémité droit suggèrent une dissection de dans les zones que nous peut analyser: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Lorsque passe à zéro par le haut, la zone du rectangle blanc de base se réduit à zéro, car reste constant. ( C'est pourquoi été introduit; c'est l'idée clé de cette démonstration. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
La zone bleue peut être rendue aussi proche de que vous le souhaitez, en commençant par un suffisamment grand , puis en choisissant petit . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
Par conséquent, la zone restante - qui n'est clairement pas plus grande que le rectangle blanc avec une base de à peut être rendue arbitrairement petite. (En d'autres termes, ignorez simplement les zones rouges et or.) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

Nous avons ainsi divisé en deux morceaux dont les aires convergent toutes deux vers zéro. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Ainsi, , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

whuber
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