Quelle est la signification intuitive derrière une variable aléatoire définie comme un «réseau»?

En théorie des probabilités, une variable aléatoire non négative $X$ est appelée réseau s'il existe $d \geq 0$ tel que $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$ .

Existe-t-il une interprétation géométrique pour expliquer pourquoi cette définition est appelée un réseau?

Cela signifie que est discret, et il y a une sorte d'espacement régulier à sa distribution; c'est-à-dire que la masse de probabilité est concentrée sur un ensemble fini / dénombrable de points d , 2 d , 3 d , … .$X$${d, 2d, 3d, \dots}$

Notez que toutes les distributions discrètes ne sont pas des réseaux. Par exemple, si peut prendre les valeurs { 1 , e , π , 5 } , ce n'est pas un réseau car il n'y a pas de d tel que toutes les valeurs puissent être exprimées en multiples de d .$X$$\{1, e, \pi, 5\}$$d$$d$

Cette terminologie relie la variable aléatoire aux concepts de la théorie des groupes utilisés pour étudier les symétries géométriques. Vous pourriez donc apprécier de voir la connexion plus générale, qui éclairera la signification et les applications potentielles des variables aléatoires du réseau.

Contexte

En mathématiques, un «réseau» est un sous-groupe discret d'un groupe topologique G ( généralement supposé avoir une covolume finie ).$\mathcal{L}$$G$

• "Discret" signifie que autour de chaque élément trouve un ensemble ouvert O g ⊂ L contenant uniquement g lui-même: O g ∪ L = { g } . Il serait juste de penser à L comme un arrangement « à motifs » ou « régulier » des points dans G .$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• Le groupe agit sur L en «déplaçant des points en L autour de G », formant une orbite hors de chacun. Un domaine fondamental de cette action consiste en un point unique dans chaque orbite. G peut être équipé d'une mesure - la mesure de Haar - utilisé pour mesurer la taille, ou des volumes , des sous - ensembles mesurables Borel de G . Un domaine fondamental mesurable peut être trouvé. Son volume est le co - volume de L . Quand il est fini, on peut penser à G comme étant carrelé par ce domaine fondamental et aux éléments de L comme à déplacer les tuiles.$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

N'importe quelle paire de ces figures d'hippocampes - où l'une est à l'endroit et l'autre à l'envers - peut être un domaine fondamental pour le réseau visuellement évident dans le plan euclidien. MC Escher, Sea Horse (n ° 11) .

Une variable aléatoire "réseau" est prise en charge sur un réseau dans ( R n , + ) . $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ Cela signifie que toute sa probabilité est contenue dans la fermeture du réseau. Parce qu'un réseau est discret, il est fermé, donc les valeurs de sont presque sûrement sur le réseau: Pr ( X ∈ L ) = 1 .$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Application

Le groupe impliqué par la question est le groupe additif de nombres réels, , avec sa topologie habituelle (euclidienne). En tant que sous-groupe, un réseau L doit inclure 0 . Cela seul ne suffira pas, car le quotient R / { 0 } a un volume infini ("volume" = "longueur" dans ce cas 1D). Ainsi , il existe au moins un élément non nul g ∈ L . Tous les pouvoirs de cet élément doivent également être dans le sous-groupe. Puisque l'opération est l' addition , la n ème puissance de g est n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$. Par conséquent, contient tous les multiples entiers de g (y compris les négatifs).$\mathcal{L}$$g$

S'il y a deux éléments qui ne sont pas des puissances l'un de l'autre, il est facile de montrer (en utilisant un tout petit peu de théorie des nombres) que (1) toutes les combinaisons n g + m h , pour n , m ∈ Z , sont en correspondance biunivoque avec les paires ordonnées ( m , n ) et (2) ces combinaisons sont denses en R , ce qui signifierait que L n'est pas discret. De là, il est simple de conclure que tous les éléments de L sont des puissances d'un seul nombre$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ . $g$ Ceci est legénérateurde .$\mathcal{L}$

(Un argument analogue montre que les réseaux dans doivent avoir n générateurs. Les générateurs pour l'aquarelle Escher pourraient être, disons, une translation de deux unités vers le bas et une translation d'une unité vers le bas et une unité vers la droite, approximativement. )$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

Par conséquent, correspondant à toute variable aléatoire de réseau à valeur réelle sur ( R , + ) doit être un générateur g ≠ 0 , d'où$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

La définition de la question peut donc être comprise comme celle d'une variable de réseau non négative . On pourrait aussi vouloir stipuler que , sinon X est supporté sur le sous-groupe { 0 } qui, ayant une covolume infinie, n'est pas un réseau.$\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

Généralisation

Les nombres réels positifs forment un groupe multiplicatif. Un réseau sur ce groupe sera de la forme L = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ pour certains g > 0 . (La covolume de ce réseau est | log ( g ) | .) En conséquence, toute variable aléatoire Y pour laquelle$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

pourrait être considérée comme une variable de réseau sur ce groupe. Évidemment, serait une variable de réseau sur ( R , + ) .$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$