Probabilité d'une paire de valeurs consécutives

Soit où et sont indépendants .$X=(x_1, x_2,...x_{20})$$x_i\sim N(0,1)$$x_i, x_j$$\forall i\neq j$

Quelle est la probabilité d'obtenir un échantillon où il y a au moins deux valeurs consécutives et telles que ?$X$$x_i$$x_{i+1}$$\begin{cases} |x_{i}| & > & 1.5 \\ |x_{i+1}| & > & 1.5 \\ x_i x_{i+1} & < & 0 \end{cases}$

Exécutez une chaîne Markov.

Soit un "flip" (à l'indice ) l'événement si et sont de signes opposés et dépassent tous les deux fois. En parcourant toute réalisation de recherche de flips, nous pouvons exploiter la symétrie de la distribution normale standard pour décrire le processus avec seulement quatre états:$i$$X_{i-1}$$X_{i}$$1.5$$(X_i)$

• Le début , avant que soit observé.$X_1$

• Zéro , où .$-1.5 \le X_{i-1} \le 1.5$

• Un , où .$|X_{i-1}| \gt 1.5$

• Renversé , où un retournement se produit en .$i$

Démarrer les transitions dans l'état (mixte)

$$\mu = (1-2p, 2p, 0)$$

(correspondant aux chances d'être dans des états ( zéro , un , inversé )) où Parce que Start n'est plus jamais revu, ne prenons pas la peine de le suivre plus loin.

$$p = \Pr(X_1 \lt -1.5) = \Pr(X_1 \gt 1.5) \approx 0.0668072.$$

Zero passe à One avec une probabilité de (lorsque ) et reste à zéro .$2p$$|X_i|\gt 1.5$

On passe en retourné avec probabilité : cela se produit lorsque et a le signe opposé de . Il revient également à Un avec une probabilité lorsque et ont le même signe que . Sinon, il passe à zéro .$p$$|X_i| \gt 1.5$$X_i$$X_{i-1}$$p$$|X_i| \gt 1.5$$X_i$$X_{i-1}$

Flipped est un état absorbant: une fois sur place, rien ne change quelle que soit la valeur de .$X_i$

Ainsi, la matrice de transition (ignorant le début transitoire ) pour ( Zero , One , Flipped ) est donc

$$\mathbb{P} = \left( \begin{array}{ccc} 1-2 p & 2 p & 0 \\ 1-2 p & p & p \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Après avoir quitté l'état de départ (et être entré dans l'état mixte ), des transitions seront effectuées dans le balayage pour un retournement. La probabilité souhaitée est donc la troisième entrée (correspondant à Flipped ) dans$\mu$$20-1$

$$\mu \cdot \mathbb{P}^{20-1} \approx 0.149045.$$

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Détails de calcul

Nous n'avons pas besoin de faire multiplications matricielles pour obtenir . Au lieu de cela, après diagonalisation$18$$\mathbb{P}^{19}$

$$\mathbb{P} = \mathbb{Q}^{-1} \mathbb{E} \mathbb{Q},$$

la réponse pour tout exposant (même énorme) peut être calculée via une seule multiplication matricielle comme$n$

$$\mu\cdot\mathbb{P}^n = \left(\mu\cdot\mathbb{Q}^{-1}\right) \mathbb{E}^n \mathbb{Q}$$

avec

$$\mu \cdot \mathbb{Q}^{-1} = \left(1,\frac{-4 p^2+p+1-\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}},-\frac{-4 p^2+p+1+\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}}\right),$$

$$\mathbb{Q} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac{\left(1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \frac{\left(1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \end{array} \right)$$

et

$$\mathbb{E}^n = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n & 0 \\ 0 & 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n \\ \end{array} \right)$$

Une simulation d'un million d'itérations (à l'aide R) prend en charge ce résultat. Sa sortie,

     Mean       LCL       UCL 
0.1488040 0.1477363 0.1498717

estime la réponse à avec un intervalle de confiance qui comprend .$0.1488$$[0.1477, 0.1499]$$0.149045$

n <- 20                                         # Length of the sequence
n.iter <- 1e6                                   # Length of the simulation
set.seed(17)                                    # Start at a reproducible point
x <- rnorm(n.iter*n)                            # The X_i
y <- matrix(sign(x) * (abs(x) > 3/2), n, n.iter)
flips <- colSums(y[-1, ] * y[-n, ] == -1)       # Flip indicators
x.bar <- mean(flips >= 1)                       # Mean no. of flipped sequences
s <- sqrt(x.bar * (1-x.bar) / n.iter)           # Standard error of the mean
(c(Mean=x.bar, x.bar + c(LCL=-3,UCL=3) * s))    # The results