PDF d'une somme de variables dépendantes

Il s'agit d'une continuation directe de ma récente question . La chose que je veux vraiment obtenir est la distribution de$a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}$, où $a,b,c,d$ sont uniformes $[0,1]$. Maintenant, la distribution de$(a-d)^2+4bc$a été calculé avec succès dans le thread mentionné , et appelons-le$h(x)$. La distribution de$\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ est simplement $h(x^2)\cdot 2x$. La dernière étape serait de calculer la distribution de la somme des$X=a+d$ et $Y=\sqrt{(a-d)^2+4bc}$d'une manière similaire à la précédente , mais$X$ et $Y$ ne sont pas indépendants, et maintenant je suis coincé et je ne sais même pas par où commencer.

Il peut être utile de noter que $\sqrt{(a-d)^2+4bc}=\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}$ et dans ce dernier les composants sous la racine (c'est-à-dire, $X^2=(a+d)^2$ et $W=-4(ad-bc)$) sont faciles à calculer. Ensuite, je suis intéressé par la distribution de$X+\sqrt{X^2+W}$, connaissant les distributions de $X$ et $\sqrt{X^2+W}$.

Je ne vois aucun changement utile de variables. J'ai pensé à utiliser la probabilité conditionnelle, mais comment trouver$f(\sqrt{X^2+W}\Big|X)$? Je suis peut-être trop en avance et je dois peut-être reculer de quelques pas.

Est-il même possible de calculer quelque chose comme ça?

La distribution résultante devrait ressembler à ceci:

EDIT: La réponse acceptée donne la solution que je cherchais, cependant, je suis toujours curieux de savoir comment la dériver analytiquement. Je veux dire, dans ma question précédente, le CDF a été donné comme une intégrale:

$\int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy$

avec $F$ et $g$donné par des fonctions simples. Théoriquement, cela pourrait être intégré à l'aide d'un stylo et de papier. Bien sûr, utiliser un logiciel est naturel. Cependant, je suis toujours curieux de savoir comment donner une réponse sous forme fermée ici. la réponse des loups sonne une cloche, mais ... Une convolution de trois pdfs d'une fonction (relativement) compliquée?

Retrouvez le pdf de: $\quad A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}, \quad$ où $A,B,C,D$ sont iid $Uniform(0,1)$

Laisser $U = 4 BC$, où $U$ a pdf: $\quad g(u) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{u}\right) \quad \text{for } 0<u<4$.

Cela réduit le problème de 4 à 3 variables aléatoires indépendantes. Ensuite, par indépendance, le pdf commun de$(A,D,U)$ est $f(a,d,u)$:

Laisser $Z = A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}$. Le cdf de$Z$ est $P(Z<z)$:

où j'utilise la Probfonction du package mathStatica pour Mathematica pour automatiser les nitty-gritties.

Le pdf de $Z$ est simplement la dérivée de ce dernier wrt $z$, ce qui donne la solution:

Terminé.

Voici un tracé du pdf théorique exact de $Z$:

Chèque Monte Carlo

Le diagramme suivant compare une approximation empirique de Monte Carlo du pdf (bleu ondulé) au pdf théorique dérivé ci-dessus (en pointillés rouges). Semble bien.

Juste après avoir lu la réponse des loups, j'ai compris que je pouvais calculer la distribution finale dès le début sans toutes les étapes intermédiaires:

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] donne le CDF et

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] donne le PDF qui fonctionne parfaitement avec ma simulation:

Cela utilise directement l'approche d'une réponse à ma question précédente.