Quelle est la démonstration de la variance de la différence de deux variables dépendantes?

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Je sais que la variance de la différence de deux variables indépendantes est la somme des variances, et je peux le prouver. Je veux savoir où va la covariance dans l'autre cas.

Ricky
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Réponses:

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Quand X et Y sont des variables dépendantes avec covariance Cov[X,Y]=E[(XE[X])(YE[Y])], alors la variance de leur différence est donnée par

Var[XY]=Var[X]+Var[Y]2Cov[X,Y]
Ceci est mentionné parmi les propriétés de base de la variance sur http://en.wikipedia.org/wiki/Variance . SiX et Y se trouvent être non corrélés (ce qui est a fortiori le cas lorsqu'ils sont indépendants), alors leur covariance est nulle et nous avons
Var[XY]=Var[X]+Var[Y]
StijnDeVuyst
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Laisser X et Yêtre deux variables aléatoires. Nous voulons montrer queVar[XY]=Var[X]+Var[Y]2×Cov[X,Y].

Définissons Z:=Y, donc nous avons: Var[XY]=Var[X+Z]=Var[X]+Var[Z]+2×Cov[X,Z].

Var[Z]=Var[Y]=Var[Y], depuis Var[αY]=α2Var[Y]αR.

Nous avons aussi Cov[X,Z]=Cov[X,Y]=Cov[X,Y], parce que Cov(X,βY)=βCov(X,Y)βR.

Rassemblant toutes les pièces, nous avons Var[XY]=Var[X]+Var[Y]2×Cov[X,Y].

scienceseba
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