Supposons que la variable aléatoire suit une distribution uniforme continue avec les paramètres 0 et 10 (c'est-à-dire U ∼ U ( 0 , 10 ) )
Désignons maintenant A l'événement où = 5 et B l'événement où U est égal à 5 ou 6. Selon ma compréhension, les deux événements ont une probabilité nulle de se produire.
Maintenant, si nous considérons calculer , nous ne pouvons pas utiliser la loi conditionnelle P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) , carP(B)est égal à zéro. Cependant, mon intuition me dit queP(A|B)=1/2.
Réponses:
Pour les variables aléatoires continues, et Y disent, les distributions conditionnelles sont définies par la propriété qu'elles récupèrent la mesure de probabilité d'origine, c'est-à-dire pour tous les ensembles mesurables A ∈ B ( X ) , B ∈ B ( Y ) , P ( X ∈ A , Y ∈ B ) = ∫ B d P Y ( y ) ∫ B d P X | Y ( x |X Y A∈B(X) B ∈ B( Y ) Cela implique que la densité conditionnelle est définie arbitrairement sur des ensembles de mesure zéro ou, en d'autres termes, que la densité conditionnelle p X | Y ( x | y ) est définipresque partout. Puisque l'ensemble { 5 , 6 } est de mesure zéro par rapport à la mesure de Lebesgue, cela signifie que vous pouvez définir à la fois p ( 5 ) et p ( 6 ) de manière absolument arbitraire et donc que la probabilité P ( U = 5 |
Cela ne signifie pas que vous ne pouvez pas définir une densité conditionnelle par la formule de rapport comme dans le cas normal bivarié mais simplement que la densité n'est définie presque partout que pour les deux x et y .
Le fait que l'argument limitant (lorsque passe à zéro) dans la réponse ci-dessus semble donner une réponse naturelle et intuitive est lié au paradoxe de Borel . Le choix du paramétrage dans les matières limites, comme le montre l'exemple suivant que j'utilise dans mes cours de premier cycle.ϵ
Prenez la normale bivariée Quelle est la densité conditionnelle de X étant donné que X = Y ?X, Y∼iidN( 0 , 1 ) X X= Y
Si l'on part de la densité conjointe , la réponse "intuitive" est [proportionnelle à] φ ( x ) 2 . Ceci peut être obtenu en considérant le changement de variable ( x , t ) = ( x , y - x ) ∼ φ ( x ) φ ( t + x ) où T = Y - X a la densité φ (φ ( x ) φ ( y) φ ( x )2
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Voici une réponse controversée:
Xi'an a raison de dire que vous ne pouvez pas conditionner des événements avec une probabilité nulle. Cependant, Yair a également raison de dire qu'une fois que vous avez décidé d'un processus limitant , vous pouvez évaluer une probabilité. Le problème est qu'il existe de nombreux processus limitatifs qui arrivent à la condition souhaitée.
Notez que de nombreux statisticiens n'acceptent pas le principe d'indifférence. Je l'aime parce qu'elle reflète mes intuitions. Bien que je ne sache pas toujours comment l'appliquer, peut-être que dans 50 ans, ce sera plus courant?
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Permettez-moi de souligner à nouveau (et encore) que la méthode ci-dessus est utilisée pour l'intuition. Le conditionnement sur des événements de probabilité nulle se fait très souvent sans trop réfléchir. Le meilleur exemple auquel je peux penser est si( X1, X2) ∼ N( 0 , Σ ) X1 X2= 0 P( ξ= a ) = 0
Donc, oui, vous pouvez donner un sens au conditionnement sur des événements de mesure zéro.
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