Attente sur les produits d'ordre supérieur de distributions normales

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J'ai deux variables et X 2 normalement distribuées avec un zéro moyen et une matrice de covariance Σ . Je souhaite essayer de calculer la valeur de E [ X 2 1 X 2 2 ] en fonction des entrées de Σ .X1X2ΣE[X12X22]Σ

J'ai utilisé la loi de probabilité totale pour obtenir mais je ne sais pas à quoi l'attente intérieure se réduit. Y a-t-il une autre méthode ici?E[X12X22]=E[X12E[X22|X1]]

Merci.

Edit: Les variables sont également multivariées normalement distribuées.

AGK
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Do et X 2 bénéficient d' une bivariée distribution normale aussi? (Le simple fait de dire que X 1 et X 2 sont normaux avec la matrice de covariance Σ ne suffit pas pour conclure que la distribution conjointe est normale bivariée). X1X2X1X2Σ
Dilip Sarwate
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Pour l'application spécifique que j'ai en tête, et X 2 ont une distribution normale bivariée, selon le théorème de la limite centrale multivariée. J'ai oublié de le mentionner dans mon message d'origine. X1X2
AGK
1
@AGK si vous souhaitez clarifier votre message, il existe un bouton "modifier" qui vous permet d'apporter des modifications. C'est mieux pour les futurs lecteurs qui n'auront alors pas à rechercher les informations clés dans les commentaires sous la question.
Silverfish

Réponses:

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σ11σ22Σρ=σ12/σ11σ22

En supposant une normalité bivariée, alors selon l'analyse à https://stats.stackexchange.com/a/71303, nous pouvons changer les variables en

X1=X, X2=ρX+(1ρ2)Y

(X,Y)

E(X2(ρX+(1ρ2)Y)2)=E(ρ2X4+(1ρ2)X2Y2+cX3Y)

cYX2X1

E(X4)=3, E(X2)=E(Y2)=1, EY=0

XY

E(ρ2X4+(1ρ2)X2Y2+cX3Y)=3ρ2+(1ρ2)+0=1+2ρ2.

σ11σ22

E(X12X22)=σ11σ22+2σ122.

(X1,X2)(X,ρX+(1ρ2)Y)XY

E(X2k)=E(Y2k)=(2k)!k!2k=π1/22kΓ(k+12)

k0

E(X12pX22q)=(2q)!2pqi=0qρ2i(1ρ2)qi(2p+2i)!(2i)!(p+i)!(qi)!

(avec toutes les autres attentes de monômes égales à zéro). Ceci est proportionnel à une fonction hypergéométrique (presque par définition: les manipulations impliquées ne sont ni profondes ni instructives),

1π2p+q(1ρ2)qΓ(p+12)Γ(q+12)2F1(p+12,q;12;ρ2ρ21).

(1ρ2)qρ

whuber
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Merci pour la réponse détaillée! Je pense également à des questions connexes avec d'autres polynômes, c'est donc un cadre vraiment utile. C'est une transformation très intelligente que je n'avais jamais vue auparavant. Cool!
AGK
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Pour vous aider dans votre enquête, j'ai fourni les détails des polynômes généraux. J'ai été amusé, lors de la rédaction de cette réponse, de réaliser que j'ai appris cette transformation dans le manuel de statistiques élémentaires de Friedman, Pisani et Purves: nous enseignons cela aux étudiants de première année!
whuber