J'essaie de générer une matrice de corrélation (psd symétrique) avec une structure de densité prédéfinie (spécifiée par un graphique sur nœuds). Les nœuds qui sont connectés dans le graphique ont une corrélation , les autres sont tous 0 et la diagonale est 1.p ρ ∼ U ( 0 , 1 )
J'ai essayé de générer cette matrice à plusieurs reprises mais n'obtiens que rarement une matrice de corrélation valide.
Existe-t-il un moyen de garantir une matrice de corrélation whp? Notez que je ne peux avoir qu'une corrélation positive, donc etc. n'est pas une option.
Toute aide est grandement appréciée!
correlation
matrix
sparse
correlation-matrix
Blade Runner
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Réponses:
Fermer mais pas de cigare pour @Rodrigo de Azevedo.
La solution consiste à utiliser une programmation semi-définie pour trouver la valeur maximale, , et la valeur minimale (sous réserve d'être non négative), , de telle sorte que la matrice de corrélation avec le modèle de rareté prescrit soit positive semi-défini (psd). Toutes les valeurs de telles que , produiront des matrices psd (exercice pour le lecteur) ρ m i n ρ ρ ρ m a x ≤ ρ ≤ ρ m a xρmax ρmin ρ ρ ρm a x≤ ρ ≤ ρm a x
Par conséquent, vous devez soit choisir une distribution de qui ne peut prendre que des valeurs dans , ou vous devez utiliser l'acceptation / le rejet et rejeter toutes les valeurs générées de qui ne produisent pas une matrice psd.[ ρ m a x , ρ m a x ] ρρ [ ρm a x, ρm a x] ρ
Exemple pour une matrice 4 x 4 utilisant YALMIP sous MATLAB
Résultats: rho maximum = 0,57735, rho minimum = 0. Il est évident que zéro sera la valeur minimale de rho sous réserve que rho soit non négatif et que la matrice prescrite soit psd, indépendamment de la dimension ou du modèle de rareté. Par conséquent, il n'est pas nécessaire d'exécuter l'optimisation semi-définie pour trouver la valeur non négative minimale de .ρ
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Si l'on a des contraintes supplémentaires, telles que des contraintes de rareté
Exécution du script,
Voyons quelle solution CVX a trouvé,
Cette matrice est-elle semi-définie positive? Définie positive?
Il est définitivement défini, comme prévu. Nous pouvons trouver des matrices de corrélation semi-définies positives en choisissant une fonction objective non nulle (linéaire).
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