Stationnarité spatiale intrinsèque: ne s'applique-t-elle pas uniquement aux petits retards?

De la définition de la stationnarité intrinsèque:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$

Cette hypothèse est utilisée par exemple en krigeage ordinaire, au lieu de supposer une moyenne constante sur tout l'espace, nous supposons que la moyenne est constante localement.

Si la moyenne est constante dans un voisinage, nous nous attendons logiquement à ce que la différence entre deux mesures proches l'une de l'autre soit nulle. Mais comme la moyenne varie dans l'espace, on ne s'attend pas à ce que la différence de valeurs éloignées les unes des autres soit nulle?

L'hypothèse de stationnarité intrinsèque ne devrait donc pas être:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$ pour$h \to 0$

Oui et non.

Oui

Je rappelle qu'André Journel a depuis longtemps souligné les points que

• Les hypothèses de stationnarité sont des décisions prises par l'analyste concernant le type de modèle à utiliser. Ce ne sont pas des propriétés inhérentes au phénomène.

• Ces hypothèses sont robustes aux départs parce que le krigeage (au moins comme il y a 20 ans et plus) était presque toujours un estimateur local basé sur la sélection de données à proximité dans les quartiers de recherche en mouvement.

Ces points confirment l'impression que la stationnarité intrinsèque est une propriété purement locale en suggérant qu'en pratique, elle ne doit se maintenir que dans un voisinage de recherche typique, puis seulement approximativement.

Non

Cependant, mathématiquement, il est en effet vrai que les différences attendues doivent toutes être exactement nulles, quelle que soit la distance . En fait, si tout ce que vous supposiez était que les différences attendues sont continues dans le décalage h , vous ne supposeriez pas grand-chose du tout! Cette hypothèse plus faible reviendrait à affirmer un manque de ruptures structurelles dans l'attente (ce qui n'impliquerait même pas un manque de ruptures structurelles dans les réalisations du processus), mais sinon elle ne pourrait pas être exploitée pour construire les équations de krigeage ni même estimer un variogramme.$|h|$$h$

Pour apprécier à quel point l'hypothèse de continuité moyenne peut être faible (et pratiquement inutile), considérons un processus sur la ligne réelle pour lequel$Z$

$$Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise }$$

où a une distribution normale standard. Le graphique d'une réalisation consistera en une demi-ligne à hauteur u pour x négatif et une autre demi-ligne à hauteur - u pour x positif .$U$$u$$x$$-u$$x$

Pour tout et h ,$x$$h$

$$E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0$$

mais presque sûrement , montrant que presque toutes les réalisations de ce processus sont discontinues à 0 , même si la moyenne du processus est continue partout.$U\ne -U$$0$

Interprétation

Diggle et Ribeiro discutent de cette question [à la p. 66]. Ils parlent de fonctions aléatoires intrinsèques, pour lesquelles les incréments sont supposés stationnaires (pas seulement faiblement stationnaires):$Z(x)-Z(x-h)$

Les fonctions aléatoires intrinsèques englobent une classe de modèles plus large que les fonctions aléatoires stationnaires. En ce qui concerne la prédiction spatiale, la principale différence entre les prédictions obtenues à partir de modèles intrinsèques et de modèles stationnaires est que si des modèles intrinsèques sont utilisés, la prédiction en un point est influencée par le comportement local des données; c'est-à-dire par la mesure observée à des emplacements relativement proches de $x$$x$, tandis que les prévisions des modèles stationnaires sont également affectées par le comportement global. Une façon de comprendre cela est de se rappeler que la moyenne d'un processus intrinsèque est indéterminée. Par conséquent, les prévisions dérivées d'un modèle intrinsèque supposé ont tendance à fluctuer autour d'une moyenne locale. En revanche, les prévisions dérivées d'un modèle stationnaire supposé ont tendance à revenir à la moyenne globale du modèle supposé dans les zones où les données sont rares. Lequel de ces deux types de comportement est le plus naturel dépend du contexte scientifique dans lequel les modèles sont utilisés.

Commentaire

$E([Z(x)-Z(x-h)]^{2})$$0$$h\to 0$$Z^\prime$

$$E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2)$$

$x$$Z^\prime$

Références

Peter J. Diggle et Paulo J. Ribeiro Jr., Model-based Geostatistics . Springer (2007)