Quels sont les paramètres d'un postérieur de Wishart-Wishart?

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Lors de l'inférence de la matrice de précision Λ d'une distribution normale utilisée pour générer N vecteurs D-dimension x1,..,xN

xiN(μ,Λ1)
nous plaçons généralement un Wishart prioritaire sur Λ car la distribution Wishart est le conjugué avant pour la précision d'une distribution normale multivariée avec une variance moyenne et inconnue connue:
ΛW(υ,Λ0)
υ sont les degrés de liberté et Λ0 lematrice d'échelle . Pour ajouter de la robustesse et de la flexibilité au modèle, nous mettons un hyperprior sur les paramètres du Wishart. Par exemple, Görür et Rasmussen suggèrent:
Λ0W(D,1DΛx)1υD+1G(1,1D)
G est la distribution gamma.

Question:

afin d'échantillonner la partie postérieure de Λ0

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)

quels sont la famille et les paramètres de ce postérieur?

PS:

En supprimant tous les facteurs qui ne dépendent pas de Λ0 et en identifiant les paramètres avec les paramètres d'un Wihsart, j'obtiens un Wishart avec des paramètres:

υ=υ+DΛ=Λ+Λx

qui a l'air plutôt sympa, mais je ne suis pas du tout confiant car je ne trouve aucun exemple ni sur les livres ni sur internet.

Erratum :

Görur et Rasmussen suggèrent ces hyperpriors sur les paramètres de Wishart, mais cette équation:

ΛW(υ,Λ0)

devrait être à la place:

ΛW(υ,Λ01)

résolvant ainsi le manque de conjugaison. Si nous voulons conserver nous devons utiliser le Wishart inverse comme un préalable (voir la réponse de @ Xi'an)Λ0

alberto
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Réponses:

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Le produit des deux densités en conduit à

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)
p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)|Λ0|υ/2exp{tr(Λ01Λ)/2}×|Λ0|(Dp1)/2exp{Dtr(Λx1Λ0)/2}|Λ0|(Dυp1)/2exp{tr(Λ01Λ+DΛx1Λ0)/2},

qui ne semble pas être une densité standard. Pour conserver la conjugaison de toutes sortes, le bon a priori hiérarchique sur devrait être quelque chose comme Λ0
Λ0IW(Λ0|D,1DΛx).
Xi'an
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1
Merci pour l'indice @ Xi'an!, En fait, le paramètre devrait vraisemblablement être (ma faute, voir modifier). Je viens de poster une réponse en utilisant ceci et en gardant le Wishart * Wishart. Λ01
alberto
6

Ok, grâce à la réponse @ Xi'an, j'ai pu faire toute la dérivation. Je vais l'écrire pour un cas général: où le est la clé de la conjugaison. Si nous voulons utiliser ce devrait être:

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)
S1S
W(W|υ,S)×IW(S|υ0,S0)

Je fais le premier cas (veuillez me corriger si je me trompe):

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)|S|υ/2exp{12tr(SW)}×|S|υ0D12exp{12tr(S01S)}|S|υ+υ0D12exp{12tr((W+S01)S)}

où nous avons utilisé le fait que . Par inspection, nous voyons qu'il s'agit d'une distribution Wishart: tr(SW)=tr(WS)

p(S|)=W(υ+υ0,(W+S01)1)

Extension pour tiragesNW1...WN :

Dans le cas où nous avons matrices de précision, alors la vraisemblance devient un produit de vraisemblances et nous obtenons:NN

p(S|)=W(Nυ+υ0,(i=1NWi+S01)1)
alberto
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