distribution normale:
Prenez une distribution normale avec une variance connue. On peut prendre cette variance à 1 sans perdre la généralité (en divisant simplement chaque observation par la racine carrée de la variance). Cela a une distribution d'échantillonnage:
p ( X1. . . XN| μ)= ( 2 π)- N2exp( - 12∑i = 1N( Xje- μ )2) =Aexp( - N2( X¯¯¯¯- μ )2)
Où est une constante qui ne dépend que des données. Cela montre que la moyenne de l'échantillon est une statistique suffisante pour la moyenne de la population. Si nous utilisons un a priori uniforme, la distribution postérieure de μ sera:UNEμ
( μ | X1. . . XN) ∼ No r m a l ( X¯¯¯¯, 1N)⟹( N--√( μ - X¯¯¯¯) | X1. . . XN) ∼ No r m a l ( 0 , 1 )
Ainsi, un intervalle crédible sera de la forme:1 - α
( X¯¯¯¯+ 1N--√Lα, X¯¯¯¯+ 1N--√Uα)
Où et U α sont choisis de telle sorte qu'une variable aléatoire normale normale Z satisfasse:LαUαZ
Pr ( Lα< Z< Uα) = 1 - α
Nous pouvons maintenant partir de cette "quantité pivot" pour construire un intervalle de confiance. La distribution d'échantillonnage de pourμfixeest une distribution normale standard, nous pouvons donc la remplacer par la probabilité ci-dessus:N--√( μ - X¯¯¯¯)μ
Pr ( Lα< N--√( μ - X¯¯¯¯) < Uα) = 1 - α
Réorganisez ensuite la résolution pour , et l'intervalle de confiance sera le même que l'intervalle crédible.μ
Paramètres d'échelle:
Pour les paramètres d'échelle, les pdfs ont la forme . On peut prendre le(Xi|s)∼Uniform(0,s), ce qui correspond àf(t)=1. La distribution d'échantillonnage conjointe est:p ( Xje| s)= 1sF( Xjes)( Xje| s)∼Un i fo r m ( 0 , s )F( t ) = 1
p ( X1. . . XN| s)= s- N0 < X1. . . XN< s
Xm a x
Pr ( Xm a x< y| s)=Pr ( X1< y, X2< y. . . XN< y| s)= ( ys)N
y= qsQ = s- 1Xm a xPr ( Q < q) = qNb e t a ( N, 1 )Lα, Uα
Pr ( Lα< Q < Uα) = 1 - α = UNα- LNα
Et nous substituons la quantité pivot:
Pr ( Lα< s- 1Xm a x< Uα) = 1 - α = Pr ( Xm a xL- 1α> s > Xm a xU- 1α)
Et il y a notre intervalle de confiance. Pour la solution bayésienne avec les jeffreys, nous avons:
p ( s | X1. . . XN) = s- N- 1∫∞Xm a xr- N- 1rér= N( Xm a x)Ns- N- 1
⟹Pr ( s > t | X1. . . XN) = N( Xm a x)N∫∞ts- N- 1rés = ( Xm a xt)N
Nous branchons maintenant l'intervalle de confiance et calculons sa crédibilité
Pr ( Xm a xL- 1α> s > Xm a xU- 1α| X1. . . XN) = ( Xm a xXm a xU- 1α)N- ( Xm a xXm a xL- 1α)N
= UNα- LNα= Pr ( Lα< Q < Uα)
1 - α