Informations de Fisher observées en cours de transformation

D'après "In All Lik vraisemblance: modélisation statistique et inférence utilisant la vraisemblance" de Y. Pawitan, la probabilité d'une re-paramétrisation $\theta\mapsto g(\theta)=\psi$ est définie comme

$$L^*(\psi)=\max_{\{\theta:g(\theta)=\psi\}} L(\theta)$$ sorte que si $g$ est un- à un, puis $L^*(\psi)=L(g^{-1}(\psi))$ (p. 45). J'essaie de montrer l'exercice 2.20 qui déclare que si $\theta$ est scalaire (et je suppose que $g$ est également censé être une fonction scalaire), alors $$I^*(g(\hat{\theta}))=I(\hat{\theta})\left|\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}\right|^{-2},$$ où $$I(\theta)=-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} l(\theta)$$ est l'information de Fisher observée et $l(\theta)=\log L(\theta)$ .

Si $g$ est un à un, cela est simple en utilisant la règle de chaîne et le principe d'invariance. Je me pose quelques questions:

1. Pourquoi insiste-t-il pour écrire la valeur absolue? Cela pourrait être laissé de côté, non?
2. Par $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}$ il entend la fonction $\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}$ évaluée à $\theta=\hat{\theta}$ , non? Si tel est le cas, n'est-ce pas un mauvais choix de notation? Je crois que la notation abrégée habituelle pour ce monde serait $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \theta}$ .
3. Comment cela se manifeste-t-il lorsque $g$ n'est pas nécessairement un à un?

1. La valeur absolue n'est pas nécessaire. Ce n'est peut-être qu'une faute de frappe.

2. Tu as raison. Une notation encore meilleure serait .$\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}$

3. Cela ne tient pas en général. Corrigez certains et définissez par . Le rhs serait indéfini car la dérivée est nulle pour chaque .$\psi_0$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$g(\theta)=\psi_0$$\theta$

Un croquis du cas régulier:

Pour un bon-to-one avec . Depuis, , nous avons Par conséquent, $g$$\psi=g(\theta)$$d/d\psi = d\theta/d\psi\cdot d/d\theta$

$$\begin{align} I^*(\psi) &= -\frac{d^2L^*(\psi)}{d\psi^2} = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\psi} \right) = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\theta} \frac{d\theta}{d\psi}\right) \\ &= - \frac{d^2L^*(\psi)}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(\psi)}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi}\, . \end{align}$$ $$\begin{align} I^*(g(\hat{\theta})) &= -\frac{d^2L^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= -\frac{d^2L(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta^2} \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=g^{-1}(g(\hat{\theta}))}\right)^{-2} - \frac{dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= I(\hat{\theta}) \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}\right)^{-2} \, , \end{align}$$ dans lequel nous avons utilisé .$dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))/d\theta=dL(\hat{\theta})/d\theta=0$