Pour la première partie, vous avez indiqué que vous disposiez d'un instrument «valide». Cela implique pour un traitement binaire et un instrument que est équivalent à , c'est-à-dire que l'instrument a un effet si le traitement est choisi ou non. Cette observation, qui devrait également être énoncée dans l'article d'Angrist et d'Imbens, est essentielle pour le reste de leur preuve. Pour la première étape, ils supposent que , ce qui signifie que le nombre de complices ( est plus grand que celui des défieurs ( ).Cov(Di,Zi)≠0P(Di=1|Zi=1)≠P(Di=1|Zi=0)P(Di=1|Zi=1)>P(Di=1|Zi=0)Ci)Fi
En utilisant la restriction d'exclusion (pour chaque { }, nous avons que , c'est-à-dire que l'instrument n'a pas d'effet direct sur le résultat), vous pouvez écrire le différence dans la part des compliants et des défieurs dans la population lorsque
où la deuxième étape utilise l'indépendance pour se débarrasser du conditionnement surz∈0;1Yiz=Yi0z=Yi1z
P(Di=1|Zi=1)−P(Di=1|Zi=0)=P(Di1=1|Zi=1)−P(Di0=1|Zi=0)=P(Di1=1)−P(Di0=0)=[P(Di1=1,Di0=0)+P(Di1=1,Di0=1)]−[P(Di1=0,Di0=1)+P(Di1=1,Di0=1)]=P(Ci)–P(Fi)
Ziparce que les résultats potentiels sont indépendants de l'instrument. La troisième étape utilise la loi de la probabilité totale. Dans la dernière étape, il vous suffit alors d'utiliser la monotonie qui suppose essentiellement que les défieurs n'existent pas, donc et vous obtenez
Ce serait votre coefficient de première étape dans une régression 2SLS. L'hypothèse de monotonie est cruciale pour cela et il faut réfléchir sérieusement aux raisons possibles pour lesquelles elle pourrait être violée (cependant, la monotonie peut être assouplie, voir par exemple
de Chaisemartin (2012) «Tout ce dont vous avez besoin est TARD» ).
P(Fi)=0P(Ci)=P(Di=1|Zi=1)−P(Di=1|Zi=0).
La deuxième partie de la preuve suit un chemin similaire. Pour cela, vous devez vous rappeler que le statut de traitement observé est
car vous ne pouvez pas observer les deux résultats potentiels pour la même personne. De cette façon, vous pouvez relier le résultat observé au résultat potentiel, à l'état du traitement et à l'instrument comme
Pour la deuxième partie de la preuve, prenez la différence dans le résultat attendu avec l'instrument allumé et allumé, et utilisez la représentation précédente des résultats observés et la restriction d'exclusion dans la première étape pour obtenir:
Di=ZiDi1+(1−Zi)Di0
Yi=(1−Zi)(1−Di)Yi00+Zi(1−Di)Yi10+(1−Zi)DiYi01+ZiDiYi11
E(Yi|Zi=1)–E(Yi|Zi=0)=E(Yi1Di+Yi0(1−Di)|Zi=0)−E(Yi1Di+Yi0(1−Di)|Zi=1)=E(Yi1Di1+Yi0(1−Di1)|Zi=1)−E(Yi1Di0+Yi0(1−Di0)|Zi=0)=E(Yi1Di1+Yi0(1−Di1))−E(Yi1Di0+Yi0(1−Di0))=E((Yi1−Yi0)(Di1−Di0))=E(Yi1−Yi0|Di1−Di0=1)P(Di1−Di0=1)−E(Yi1−Yi0|Di1−Di0=−1)P(Di1−Di0=−1)=E(Yi1−Yi0|Ci)P(Ci)−E(Yi1−Yi0|Fi)P(Fi)=E(Yi1−Yi0|Ci)P(Ci)
Maintenant, c'était un peu de travail, mais ce n'est pas trop mal si vous connaissez les étapes à suivre. Pour la deuxième ligne, utilisez à nouveau la restriction d'exclusion pour écrire les états de traitement potentiels. Dans la troisième ligne, utilisez l'indépendance pour vous débarrasser du conditionnement sur comme auparavant. À la quatrième ligne, vous factorisez simplement les termes. La cinquième ligne utilise la loi des attentes itérées. La dernière ligne apparaît en raison de l'hypothèse de monotonie, c'est-à-dire . Ensuite, il vous suffit de diviser comme dernière étape et vous arrivez à
ZiP(Fi)=0
E(Yi1−Yi0|Ci)=E(Yi|Zi=1)–E(Yi|Zi=0)P(Ci)=E(Yi|Zi=1)–E(Yi|Zi=0)P(Di=1|Zi=1)−P(Di=1|Zi=0)=E(Yi|Zi=1)–E(Yi|Zi=0)E(Di|Zi=1)−E(Di|Zi=0)
depuis et sont binaires. Cela devrait montrer comment vous combinez les deux preuves et comment elles arrivent à l'expression finale.
DiZi