Dérivation de la densité postérieure pour une vraisemblance log-normale et a priori de Jeffreys

La fonction de vraisemblance d'une distribution lognormale est:

$f(x; \mu, \sigma) \propto \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right )$

et le Prior de Jeffreys est:

$p(\mu,\sigma) \propto \frac{1}{\sigma^2}$

donc la combinaison des deux donne:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

Je sais que la densité postérieure de est distribuée gamma inverse, donc je dois calculer$\sigma^2$

$f(\sigma^2|x) = \int f(\mu,\sigma^2|x) d\mu$

mais je n'ai aucune idée par où commencer ici.

Après le commentaire de Glen_b, je donne un coup de feu:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

$= \sigma^{-n-2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \exp \left ( - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i - \mu ) \right)$

mais je ne peux pas voir cela aller nulle part.

Une autre idée que j'ai eue est de définir , alors est distribué normalement. Donc$y_i=\ln(x_i)$$y$

$f(\mu,\sigma^2 |y) = \left [ \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sigma} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} (y_i - \mu)^2 \right ) \right ] \cdot \frac{1}{\sigma^2}$

$\propto \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2 + n(\bar y - \mu)^2 \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 + n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \exp \left (n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$

intégrer ensuite:

$\sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu$

par la méthode que vous avez suggérée, j'obtiens:

$\int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu = \sqrt{\frac{2\pi \sigma^2}{n}}$

Donc:

$\propto (\sigma^2)^{-(n+1)/2} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right )$

qui est en effet distribué Gamma inverse.

Mais je ne sais pas si c'est correct, c'est aussi le même résultat que j'obtiens pour une probabilité normale.

J'ai trouvé cela dans la littérature (sans autre explication):

Notez que - considéré comme une fonction dans - ce que vous avez est proportionnel à une densité normale.$\mu$

L'étape 1 consiste donc à compléter le carré in qui se trouve dans l'exposant, à retirer le front de l'intégrale des constantes superflues, puis à multiplier le terme dans l'intégrale par la constante requise pour le faire intégrer à 1. Puis diviser en devant l'intégrale par la même constante (donc vous ne changez pas la valeur de l'expression globale).$\mu$

Puisque vous avez une densité dans l'intégrale, remplacez le terme dans l'intégrale par 1.

Vous vous retrouvez avec une fonction de (celle qui a théoriquement remplacé par quelque chose qui s'apparente à une estimation de celui-ci).$\sigma$$\mu$

Maintenant, voyez la densité d'un gamma inverse ici :

(dans ce cas, en utilisant un paramétrage d'échelle de forme).

En supposant que vous avez le bon avant (je ne l'ai pas vérifié) -

vous recherchez une densité postérieure pour . Notez que votre fonction après l'intégration peut être écrite sous la forme .$\sigma^2$$c\cdot(\sigma^2)^{-\text{something}}\cdot\exp(-\text{something-else}/\sigma^2)$

Vous avez donc une expression proportionnelle à une densité gamma inverse dans . (Comme il doit s'agir d'une densité, fournissez la constante requise pour la faire intégrer à 1.)$\sigma^2$